Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 5, |BC| = √(21), |AC| = 4. Dwusieczna kąta ∢CAB przecina bok BC w punkcie D (zobacz rysunek poniżej). Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Długość odcinka BD jest równa
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B3
Dane: - |AB| = 5 - |BC| = √(21) - |AC| = 4 - D leży na BC, a AD jest dwusieczną kąta ∠CAB
Krok 1: Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej
Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego mówi, że dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na części proporcjonalne do długości boków przyległych do tego kąta.
Dla dwusiecznej kąta ∠CAB przecinającej bok BC w punkcie D:
|BD|/|DC| = |AB|/|AC|
Krok 2: Podstawienie danych
|BD|/|DC| = 5/4
Krok 3: Wyrażenie |DC| przez |BD|
Z proporcji otrzymujemy: |DC| = 4/5|BD|
Krok 4: Użycie warunku |BD| + |DC| = |BC|
Ponieważ D leży na BC: |BD| + |DC| = √(21)
Podstawiamy |DC| = 4/5|BD|: |BD| + 4/5|BD| = √(21)
9/5|BD| = √(21)
Krok 5: Obliczenie |BD|
|BD| = 5√(21)/9
Uzasadnienie:
Długość odcinka BD obliczyliśmy stosując twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, które ustala proporcję: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 5/4
Odpowiedź: B3
(gdzie B to odpowiedź |BD| = 5√(21)/9, a 3 to uzasadnienie oparte na twierdzeniu o dwusiecznej)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.