Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 20n²+30n+7 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Aby udowodnić, że liczba 20n²+30n+7 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, rozpatruje się wyrażenie modulo 5.
Krok 1: Analiza każdego składnika modulo 5
Rozważę każdy składnik wyrażenia 20n²+30n+7:
- 20n² ≡ 0 5, ponieważ 20 = 4 · 5 - 30n ≡ 0 5, ponieważ 30 = 6 · 5 - 7 ≡ 2 5, ponieważ 7 = 1 · 5 + 2
Krok 2: Obliczenie sumy modulo 5
20n² + 30n + 7 ≡ 0 + 0 + 2 ≡ 2 5
Krok 3: Weryfikacja dla przykładowych wartości
Sprawdza się dla kilku wartości n, aby zilustrować wynik:
- Dla n=1: 20 · 1 + 30 · 1 + 7 = 57 = 11 · 5 + 2 ✓ - Dla n=2: 20 · 4 + 30 · 2 + 7 = 80 + 60 + 7 = 147 = 29 · 5 + 2 ✓ - Dla n=3: 20 · 9 + 30 · 3 + 7 = 180 + 90 + 7 = 277 = 55 · 5 + 2 ✓
Wniosek:
Ponieważ 20n² + 30n + 7 ≡ 2 5 dla każdego n ∈ N, liczba 20n²+30n+7 przy dzieleniu przez 5 zawsze daje resztę 2.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.