Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły - wzór z dziewiątkami, setna cyfra i zadania maturalne

Ułamek okresowy zamieniasz na zwykły tak: okres wpisujesz do licznika, a do mianownika tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres. Stąd $0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, a $0,(12) = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$. Jeśli przed okresem stoją jeszcze cyfry nieokresowe, jak w $0,3(7)$, rozbijasz liczbę na część skończoną i okresową albo układasz równanie z $10x$ i $100x$. Na maturze ten temat pojawia się w zadaniach zamkniętych za 1 punkt: różnica albo suma ułamków okresowych, "która cyfra stoi na dwudziestym miejscu po przecinku" oraz procenty w rodzaju $33,(3)\%$, które w treści zadania z działu liczby rzeczywiste po prostu znaczą $\frac{1}{3}$.

Co to jest ułamek okresowy i skąd się bierze

Ułamek okresowy to nieskończone rozwinięcie dziesiętne, w którym od pewnego miejsca ta sama grupa cyfr powtarza się bez końca. Tę grupę nazywamy okresem i zapisujemy w nawiasie: $0,(3) = 0,333\ldots$, $0,(12) = 0,121212\ldots$, $0,3(7) = 0,3777\ldots$. Każdy ułamek okresowy jest liczbą wymierną, czyli da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

Skąd się bierze? Z dzielenia. Gdy dzielisz pisemnie $1 : 3$, po każdym kroku zostaje reszta $1$, więc w wyniku w nieskończoność wychodzi cyfra $3$. Reszt z dzielenia przez $q$ jest tylko $q$ możliwych, więc prędzej czy później któraś się powtórzy i od tego momentu cyfry idą w kółko.

Jest prosta reguła, kiedy rozwinięcie jest skończone, a kiedy okresowe. Skróć ułamek do końca i spójrz na mianownik:

• •mianownik ma w rozkładzie tylko dwójki i piątki (2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 125...) - rozwinięcie jest skończone, np. $\frac{7}{40} = 0,175$, bo $40 = 2^3 \cdot 5$,
• •mianownik ma jakikolwiek inny czynnik pierwszy (3, 7, 9, 11, 12, 13...) - rozwinięcie jest okresowe, np. $\frac{1}{12} = 0,08(3)$, bo w $12 = 2^2 \cdot 3$ siedzi trójka.

Ta reguła sama w sobie bywa pytaniem w zadaniu zamkniętym, więc warto ją znać, zanim zaczniesz cokolwiek liczyć. Jeśli rozkład na czynniki idzie ci opornie, zajrzyj do wpisu o podzielności liczb i cechach podzielności.

Wzór z dziewiątkami - czysty ułamek okresowy

Czysty ułamek okresowy to taki, w którym okres zaczyna się od razu po przecinku: $0,(a_1 a_2 \ldots a_n)$. Zamieniasz go jednym ruchem: licznik to okres czytany jako liczba, mianownik to $n$ dziewiątek.

Przykłady:

• •$0,(6) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
• •$0,(45) = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$
• •$0,(27) = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$
• •$0,(123) = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$
• •$0,(142857) = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$

Dlaczego to działa? Weź $x = 0,(45)$. Okres ma dwie cyfry, więc mnożysz przez $100$:

Krok 1: pomnóż przez potęgę dziesiątki równą długości okresu

Krok 2: odejmij wyjściową liczbę

Nieskończone ogony po przecinku są identyczne, więc znikają w całości.

Krok 3: wyznacz x

Mianownik $99$ to dokładnie $100 - 1$, stąd dziewiątki we wzorze. Zawsze na końcu skróć ułamek: w zadaniach zamkniętych odpowiedzi są podane w postaci nieskracalnej i nieskrócone $\frac{45}{99}$ po prostu nie będzie na liście.

Ułamek okresowy mieszany - gdy przed okresem stoją inne cyfry

W $0,3(7) = 0,3777\ldots$ trójka nie należy do okresu. Wzór z samymi dziewiątkami już nie wystarczy, masz za to dwie równie dobre drogi.

Sposób 1: rozbij liczbę na część skończoną i okresową

Sposób 2: równanie z dwoma mnożeniami

Niech $x = 0,3(7)$. Mnożysz tak, żeby przecinek stanął raz tuż przed okresem, a raz o cały okres dalej:

Z drugiego sposobu wynika gotowa reguła na ułamek mieszany: licznik to "cyfry nieokresowe razem z okresem" minus "same cyfry nieokresowe", mianownik to tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres, a po nich tyle zer, ile cyfr stoi przed okresem. Dla $0,3(7)$: $\frac{37 - 3}{90}$. Dla $0,1(36)$: $\frac{136 - 1}{990} = \frac{135}{990} = \frac{3}{22}$.

Sprawdź to na liczbie z częścią całkowitą: $2,1(36) = 2 + 0,1(36) = 2 + \frac{3}{22} = \frac{44}{22} + \frac{3}{22} = \frac{47}{22}$. Podziel w drugą stronę: $47 : 22 = 2,1363636\ldots$. Zgadza się.

Która cyfra stoi na setnym miejscu po przecinku

To drugi typ zadania z ułamkami okresowymi i liczy się go bez wypisywania setki cyfr. Najpierw ustalasz długość okresu $p$, potem sprawdzasz, jaką resztę daje numer szukanej cyfry przy dzieleniu przez $p$. Reszta $r$ różna od zera oznacza $r$-tą cyfrę okresu, a reszta $0$ oznacza ostatnią cyfrę okresu.

Przykład: setna cyfra rozwinięcia $\frac{1}{7} = 0,(142857)$.

Krok 1: długość okresu

Okres $142857$ ma $p = 6$ cyfr.

Krok 2: reszta z dzielenia numeru cyfry przez długość okresu

Krok 3: odczytaj cyfrę

Reszta $4$, więc setna cyfra to czwarta cyfra okresu: $1, 4, 2, \mathbf{8}$. Odpowiedź: $8$.

Gdyby ułamek był mieszany, np. $0,3(7)$, najpierw odejmij cyfry nieokresowe. Setna cyfra $0,3(7)$ to $99$. cyfra okresu $(7)$, czyli $7$. Tu okres ma jedną cyfrę, więc każda cyfra od drugiej włącznie to siódemka.

Suma dwóch ułamków okresowych - zadanie z arkusza próbnego

Arkusze próbne lubią zestawić ułamek mieszany z czystym. Rozwiąż najpierw sam, potem sprawdź z krokami poniżej.

Krok 1: ułamek mieszany na zwykły

Dla $0,3(7)$ użyj reguły z licznikiem "37 minus 3" i mianownikiem "dziewiątka i zero":

Krok 2: czysty ułamek okresowy na zwykły

Krok 3: dodaj

Wspólny mianownik to $45$, bo $45 = 9 \cdot 5$:

Odpowiedź: $\frac{52}{45}$. Ułamek jest nieskracalny, bo $52 = 4 \cdot 13$, a $45 = 9 \cdot 5$ nie mają wspólnego dzielnika. Sprawdzenie na kalkulatorze prostym: $0,3777 + 0,7777 \approx 1,1555$, a $52 : 45 = 1,1555\ldots$. Kalkulator nie zastąpi rachunku na ułamkach, ale wyłapie pomyłkę w mianowniku.

Procenty okresowe, które warto znać na pamięć

Te wartości wracają w zadaniach z procentami, statystyki i prawdopodobieństwa. Zapamiętaj je jako ułamki, nie jako liczby dziesiętne:

• •$33,(3)\% = \frac{1}{3}$ i $66,(6)\% = \frac{2}{3}$
• •$16,(6)\% = \frac{1}{6}$ i $83,(3)\% = \frac{5}{6}$
• •$11,(1)\% = \frac{1}{9}$ i $22,(2)\% = \frac{2}{9}$
• •$0,(9) = 1$, bo $\frac{9}{9} = 1$

Ta ostatnia równość zaskakuje, ale jest ścisła. Możesz ją też zobaczyć jako sumę nieskończonego ciągu geometrycznego $0,9 + 0,09 + 0,009 + \ldots$ o ilorazie $\frac{1}{10}$, której wzór znajdziesz we wpisie o ciągu geometrycznym i jego sumie. Wniosek praktyczny: liczba nie ma dwóch różnych rozwinięć "z różnymi cyframi", ma co najwyżej dwa zapisy tej samej wartości, jak $0,5 = 0,4(9)$.

Sprawdź się

Typowe pułapki

• •$0,(12)$ to nie $0,1(2)$. Pierwsze to $\frac{12}{99} = \frac{4}{33}$, drugie to $\frac{12 - 1}{90} = \frac{11}{90}$. Nawias mówi dokładnie, które cyfry się powtarzają.
• •Mianownik ułamka mieszanego ma zera. Dla $0,3(7)$ to $90$, nie $99$. Liczba zer równa się liczbie cyfr przed okresem.
• •Brak skrócenia. $\frac{45}{99}$ jest poprawne matematycznie, ale na liście odpowiedzi stoi $\frac{5}{11}$. Skracaj zawsze do końca.
• •Reszta zero przy szukaniu cyfry. Gdy numer cyfry dzieli się przez długość okresu bez reszty, bierzesz ostatnią cyfrę okresu, nie pierwszą i nie "zerową".
• •Kalkulator prosty ucina rozwinięcie. Wyświetlacz pokaże $0,3333333$ i kusi, żeby uznać liczbę za skończoną. Na maturze kalkulator służy do sprawdzenia, nie do rozstrzygania, czy ułamek jest okresowy.
• •$0,36$ i $0,(36)$ to różne liczby. Ta różnica potrafi być jedyną różnicą między poprawną a błędną odpowiedzią, jak w zadaniu z maja 2021 powyżej.
• •Przybliżenie w zadaniu otwartym. $33,(3)\%$ zamienione na $0,33$ daje wynik z błędem, a zapis $\frac{1}{3}$ daje wynik dokładny. Jeśli przybliżenie jest konieczne, zajrzyj do wpisu o błędzie bezwzględnym i względnym, żeby wiedzieć, ile tracisz.

Checklista - co musisz umieć

1. 1.Rozpoznać po mianowniku, czy rozwinięcie będzie skończone (tylko $2$ i $5$), czy okresowe.
2. 2.Zamienić czysty ułamek okresowy wzorem z dziewiątkami: $0,(ab) = \frac{ab}{99}$.
3. 3.Zamienić ułamek mieszany: licznik "wszystko minus część nieokresowa", mianownik "dziewiątki, potem zera".
4. 4.Wyprowadzić oba wzory z równania $10x$, $100x$, gdyby wzór wyleciał z głowy.
5. 5.Znaleźć $n$-tą cyfrę po przecinku przez resztę z dzielenia $n$ przez długość okresu.
6. 6.Rozszerzyć mianownik typu $11$, $111$, $1111$, $37$ do samych dziewiątek.
7. 7.Zamienić procent okresowy ($33,(3)\%$, $16,(6)\%$) na ułamek zwykły bez zaokrąglania.
8. 8.Skrócić wynik do postaci nieskracalnej przed porównaniem z odpowiedziami.

Więcej rozwiązanych zadań z tego działu zebraliśmy we wpisie zadania CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami, a przedziały, zbiory i wartość bezwzględną powtórzysz w przewodniku po liczbach rzeczywistych.

Najczęstsze pytania