Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n²+21n jest podzielna przez 14.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód: 7n²+21n = 7n(n+3) = 14k.
## Dowód
Wyłączamy wspólny czynnik:
7n²+21n=7n(n+3)
Wystarczy wykazać, że n(n+3) jest liczbą parzystą dla każdej liczby całkowitej n. Rozważamy dwa przypadki ze względu na parzystość n.
Przypadek 1. n jest parzyste, czyli n=2k dla pewnej liczby całkowitej k. Wtedy:
n(n+3)=2k · (2k+3)=2 · k(2k+3)
co jest liczbą parzystą.
Przypadek 2. n jest nieparzyste, czyli n=2k+1. Wtedy n+3=2k+4=2(k+2), więc:
n(n+3)=(2k+1) · 2(k+2)=2 · (2k+1)(k+2)
co również jest liczbą parzystą.
W obu przypadkach istnieje liczba całkowita m taka, że n(n+3)=2m. Zatem:
7n²+21n=7 · 2m=14m
co dowodzi, że liczba 7n²+21n jest podzielna przez 14 dla każdej liczby całkowitej n.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.