Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n 1$. Trzywyrazowy ciąg $(a_1,a_9,a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$. Zapisz obliczenia.

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=3n+5 dla każdej liczby naturalnej n≥ 1. Trzywyrazowy ciąg (a₁,a₉,a_k) jest geometryczny. Oblicz k. Zapisz obliczenia.

Krok 1. Wyznaczamy $a_1$ i $a_9$ .

a_1=3\cdot 1+5=8

a_9=3\cdot 9+5=32

Krok 2. Wykorzystujemy warunek ciągu geometrycznego.

W ciągu geometrycznym

(a_1,a_9,a_k)

zachodzi warunek:

a_9^{2}=a_1\cdot a_k

32^{2}=8\cdot a_k

1024=8\cdot a_k\quad\Rightarrow\quad a_k=128

Krok 3. Wyznaczamy $k$ .

a_k=3k+5=128

3k=123\quad\Rightarrow\quad k=41

Odpowiedź:

k=41

Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczamy $a_1$ i $a_9$ .

a_1=3\cdot 1+5=8

a_9=3\cdot 9+5=32

Krok 2. Wykorzystujemy warunek ciągu geometrycznego.

W ciągu geometrycznym

(a_1,a_9,a_k)

zachodzi warunek:

a_9^{2}=a_1\cdot a_k

32^{2}=8\cdot a_k

1024=8\cdot a_k\quad\Rightarrow\quad a_k=128

Krok 3. Wyznaczamy $k$ .

a_k=3k+5=128

3k=123\quad\Rightarrow\quad k=41

Odpowiedź:

k=41