Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach z treścią

Q: Dlaczego we wzorze na n-ty wyraz jest n - 1, a nie n?

Bo od pierwszego do n-tego wyrazu wykonujesz n - 1 kroków. Pierwszy wyraz nie ma przed sobą żadnej zmiany, drugi ma jedną, dziesiąty dziewięć. Tak samo między pierwszą a osiemnastą ratą jest siedemnaście obniżek.

Zadanie z treścią dotyczy ciągu arytmetycznego, gdy każda kolejna wielkość różni się od poprzedniej o tę samą liczbę (rata mniejsza o 30 zł, rząd dłuższy o 2 krzesła). Dotyczy ciągu geometrycznego, gdy każda kolejna wielkość jest tyle samo razy większa albo mniejsza od poprzedniej (wydatki niższe o 20%, trzy razy więcej osób). Rozwiązanie zaczyna się od przetłumaczenia treści na symbole: pierwszy wyraz $a_1$ , różnicę $r$ albo iloraz $q$ , liczbę wyrazów $n$ i to, czy pytanie dotyczy jednego wyrazu $a_n$ , czy sumy $S_n$ . Dalej zostają zwykłe wzory na wyraz i sumę ciągu.

Na maturze podstawowej takie zadania pojawiają się jako zadania otwarte. W maju 2023 (zadanie 20, 2 punkty) pan Stanisław spłacał pożyczkę w ratach malejących o stałą kwotę i trzeba było obliczyć pierwszą ratę. W bazie jest też zadanie za 4 punkty o wydatkach malejących o 20% dziennie, czyli ciąg geometryczny przebrany za procenty. Rachunki w obu są krótkie. Punkty giną na tłumaczeniu: na pomyleniu różnicy z ilorazem, na $n$ zamiast $n - 1$ i na pomyleniu wyrazu z sumą. Poniżej masz sposób rozpoznawania ciągu w treści, wzory, sześć przykładów rozwiązanych krok po kroku i pułapki.

Jak rozpoznać ciąg w treści zadania

Szukaj w treści słów, które opisują zmianę między kolejnymi krokami. Stała kwota, stała liczba sztuk, „o tyle samo więcej” albo „o tyle samo mniej” oznaczają ciąg arytmetyczny. Stały procent liczony od poprzedniej wartości, „dwa razy więcej” albo „o połowę mniej” oznaczają ciąg geometryczny. Kolejne kroki (raty, rzędy, dni, tygodnie) to kolejne wyrazy ciągu.

Sformułowanie w treści	Co z niego wynika	Ciąg
każda kolejna rata jest o 30 zł mniejsza	$r = -30$	arytmetyczny
w każdym kolejnym rzędzie są 2 krzesła więcej	$r = 2$	arytmetyczny
każdego dnia wydatki są o 20% niższe niż poprzedniego	$q = 0{,}8$	geometryczny
co tydzień liczba rośnie o 5% względem poprzedniego tygodnia	$q = 1{,}05$	geometryczny
każdego dnia trzy razy więcej niż poprzedniego	$q = 3$	geometryczny
co roku o połowę mniej	$q = 0{,}5$	geometryczny

Najczęstszy błąd siedzi w trzecim wierszu. Spadek o 20% nie jest różnicą $-20$ ani ilorazem $0{,}2$ . Z każdych 100 zł zostaje 80 zł, więc każdy kolejny wyraz to $0{,}8$ poprzedniego. Ta sama zamiana procentu na mnożnik stoi za procentem składanym, który jest ciągiem geometrycznym opisanym bankowym słownictwem.

Rozpoznaj ciąg w treści zadania

Każda kolejna rata jest o 50 zł niższa od poprzedniej. Jaki to ciąg?

Ageometryczny o ilorazie 0,5
Barytmetyczny o różnicy -50
Carytmetyczny o różnicy 50

Wyjaśnienie

Stała kwota odejmowana w każdym kroku to stała różnica. Minus, bo raty maleją.

Liczba obserwujących rośnie co tydzień o 10% względem poprzedniego tygodnia. Jaki to ciąg?

Aarytmetyczny o różnicy 10
Bgeometryczny o ilorazie 0,1
Cgeometryczny o ilorazie 1,1

Wyjaśnienie

Stały procent liczony od poprzedniej wartości daje stały iloraz: 100% + 10% = 110%, czyli 1,1.

W pierwszym rzędzie stoi 20 krzeseł, w każdym kolejnym o 3 więcej. Czego szukasz, gdy pytają o liczbę krzeseł w całej sali?

Asumy wyrazów ciągu
Bjednego wyrazu ciągu
Cróżnicy ciągu

Wyjaśnienie

Cała sala to wszystkie rzędy razem, czyli suma wyrazów.

Wyraz, suma czy liczba wyrazów: o co pyta zadanie

Pytanie o jedną wielkość z konkretnego miejsca (pierwsza rata, liczba krzeseł w ostatnim rzędzie) to pytanie o wyraz $a_n$ . Pytanie o łączną wielkość (cała pożyczka, wszystkie krzesła, suma wydatków) to pytanie o sumę $S_n$ . Pytanie „po ilu dniach”, „w którym tygodniu” albo „ile rzędów” to pytanie o $n$ , które zwykle prowadzi do równania albo nierówności.

Zanim podstawisz cokolwiek do wzoru, wypisz obok treści:

• $a_1$ : wartość w pierwszym kroku (pierwsza rata, pierwszy rząd, pierwszy dzień),
• $r$ albo $q$ : o ile albo ile razy zmienia się wartość między kolejnymi krokami,
• $n$ : liczbę kroków, czyli rat, rzędów, dni,
•szukaną: $a_n$ , $S_n$ albo $n$ .

Gdy znasz dwie z trzech wielkości (wyraz, suma, liczba wyrazów), wzór na sumę z pierwszym i ostatnim wyrazem zwykle załatwia sprawę w jednej linijce. Same wzory i ich wyprowadzenia omawiam we wpisach o n-tym wyrazie ciągu arytmetycznego, o sumie ciągu arytmetycznego i geometrycznego oraz o ciągu geometrycznym i jego ilorazie.

Wzory

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n = a_1 + (n - 1)\,r

Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)\,r}{2} \cdot n

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

a_n = a_1 \cdot q^{\,n - 1}

Suma n wyrazów ciągu geometrycznego:

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \qquad q \neq 1

Iloraz przy zmianie o p procent:

q = 1 + \frac{p}{100} \ \text{(wzrost)}, \qquad q = 1 - \frac{p}{100} \ \text{(spadek)}

Przykład 1: Raty malejące o stałą kwotę

0/6

Matura maj 2023Zadanie 20Ciągi

Treść: Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości $8910$ zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o $30$ zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Przetłumacz treść
Raty to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jest ich $n = 18$ , różnica to $r = -30$ , bo raty maleją, a suma wszystkich rat to cała pożyczka: $S_{18} = 8910$ . Szukasz $a_1$ .
Krok 2
Wzór na sumę z pierwszym wyrazem i różnicą
$S_{18} = \frac{2a_1 + 17 \cdot (-30)}{2} \cdot 18 = (2a_1 - 510) \cdot 9$
Krok 3
Rozwiąż równanie
$(2a_1 - 510) \cdot 9 = 8910 \quad\Rightarrow\quad 2a_1 - 510 = 990 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 750$
Krok 4
Sprawdzenie
Ostatnia rata to $a_{18} = 750 - 17 \cdot 30 = 240$ zł, a suma rat $\frac{750 + 240}{2} \cdot 18 = 495 \cdot 18 = 8910$ zł. Zgadza się.

Odpowiedź

pierwsza rata wynosiła $750$ zł. Pozostałe zadania z tego arkusza znajdziesz na stronie matury z maja 2023.

Przykład 2: Krzesła w rzędach sali

0/6

Ciągi

Treść: W sali jest $15$ rzędów krzeseł. W pierwszym rzędzie stoi $12$ krzeseł, a w każdym kolejnym o $2$ więcej niż w poprzednim. Ile krzeseł stoi w ostatnim rzędzie, a ile w całej sali?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Przetłumacz treść
$a_1 = 12$ , $r = 2$ , $n = 15$ . Pierwsze pytanie dotyczy wyrazu $a_{15}$ , drugie sumy $S_{15}$ .
Krok 2
Ostatni rząd
$a_{15} = 12 + 14 \cdot 2 = 40$
Krok 3
Cała sala
Znasz pierwszy i ostatni wyraz, więc bierzesz krótszą wersję wzoru na sumę:
$S_{15} = \frac{12 + 40}{2} \cdot 15 = 26 \cdot 15 = 390$

Odpowiedź

w ostatnim rzędzie stoi $40$ krzeseł, a w całej sali $390$ .

Przykład 3: Ile rzędów ma widownia

0/6

Ciągi

Treść: Na widowni w pierwszym rzędzie jest $20$ miejsc, a w każdym kolejnym o $4$ miejsca więcej niż w poprzednim. Widownia ma łącznie $800$ miejsc. Ile ma rzędów?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Przetłumacz treść
$a_1 = 20$ , $r = 4$ , $S_n = 800$ . Szukasz $n$ .
Krok 2
Ułóż równanie
$\frac{2 \cdot 20 + (n - 1) \cdot 4}{2} \cdot n = 800 \quad\Rightarrow\quad (18 + 2n)\,n = 800 \quad\Rightarrow\quad n^2 + 9n - 400 = 0$
Krok 3
Rozwiąż równanie kwadratowe
$\Delta = 81 + 1600 = 1681$ , więc $\sqrt{\Delta} = 41$ :
$n_1 = \frac{-9 - 41}{2} = -25, \qquad n_2 = \frac{-9 + 41}{2} = 16$
Liczba rzędów musi być liczbą naturalną, więc zostaje $n = 16$ .
Krok 4
Sprawdzenie
$a_{16} = 20 + 15 \cdot 4 = 80$ oraz $S_{16} = \frac{20 + 80}{2} \cdot 16 = 800$ .

Odpowiedź

widownia ma $16$ rzędów.

Przykład 4: W którym tygodniu suma przekroczy 480

0/6

Matura próbna Operon listopad 2013Zadanie 31Ciągi

Treść: Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał $5$ zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o $2$ zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy $480$ ?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Przetłumacz treść
$a_1 = 5$ , $r = 2$ . Słowa „od początku nauki” oznaczają sumę, więc szukasz najmniejszego $n$ , dla którego $S_n > 480$ .
Krok 2
Suma jako wyrażenie z n
$S_n = \frac{2 \cdot 5 + (n - 1) \cdot 2}{2} \cdot n = (n + 4)\,n = n^2 + 4n$
Krok 3
Nierówność
Rozkładasz trójmian na czynniki, jak przy każdej nierówności kwadratowej:
$n^2 + 4n - 480 > 0 \quad\Rightarrow\quad (n - 20)(n + 24) > 0$
Dla liczb naturalnych czynnik $n + 24$ jest zawsze dodatni, więc nierówność zachodzi dokładnie wtedy, gdy $n > 20$ .
Krok 4
Sprawdzenie granicy
Po $20$ tygodniach suma to $400 + 80 = 480$ , czyli równo $480$ , a nie więcej. Po $21$ tygodniach to $441 + 84 = 525$ .

Odpowiedź

w dwudziestym pierwszym tygodniu nauki.

Przykład 5: Wydatki malejące o 20% dziennie

0/6

Ciągi

Treść: Kacper przez $5$ dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o $20\%$ w stosunku do wydatków poprzedniego dnia. Oblicz kwotę, jaką Kacper wydał w tym czasie, jeśli piątego dnia wydał $20{,}48$ zł.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Przetłumacz treść
Stały procent liczony od poprzedniego dnia daje ciąg geometryczny o ilorazie $q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ . Masz $n = 5$ i $a_5 = 20{,}48$ . Pytanie o kwotę wydaną „w tym czasie” to pytanie o sumę $S_5$ .
Krok 2
Pierwszy wyraz z piątego
$a_5 = a_1 \cdot q^4 \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{20{,}48}{0{,}8^4} = \frac{20{,}48}{0{,}4096} = 50$
Krok 3
Suma pięciu wyrazów
$S_5 = 50 \cdot \frac{1 - 0{,}8^5}{1 - 0{,}8} = 50 \cdot \frac{1 - 0{,}32768}{0{,}2} = 250 \cdot 0{,}67232 = 168{,}08$
Krok 4
Sprawdzenie wypisaniem
Kolejne dni to $50$ , $40$ , $32$ , $25{,}6$ i $20{,}48$ zł, a ich suma to $168{,}08$ zł.

Odpowiedź

w ciągu pięciu dni Kacper wydał $168{,}08$ zł.

Przykład 6: Wiadomość, która rozchodzi się coraz szybciej

0/6

Ciągi

Treść: Pierwszego dnia o szkolnym konkursie dowiedziały się $3$ osoby. Każdego kolejnego dnia dowiadywało się trzy razy więcej nowych osób niż poprzedniego dnia. Po ilu dniach łączna liczba osób, które wiedzą o konkursie, przekroczy $1000$ ?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Przetłumacz treść
Liczby nowych osób w kolejnych dniach tworzą ciąg geometryczny: $a_1 = 3$ , $q = 3$ . Łączna liczba osób to suma, więc szukasz najmniejszego $n$ , dla którego $S_n > 1000$ .
Krok 2
Suma jako wyrażenie z n
$S_n = 3 \cdot \frac{1 - 3^n}{1 - 3} = \frac{3\,(3^n - 1)}{2}$
Krok 3
Nierówność
$\frac{3\,(3^n - 1)}{2} > 1000 \quad\Rightarrow\quad 3^n - 1 > \frac{2000}{3} \quad\Rightarrow\quad 3^n > 667\tfrac{2}{3}$
Krok 4
Sprawdź kolejne potęgi
$3^5 = 243$ to za mało, a $3^6 = 729$ wystarcza. Kontrola na sumach: $S_5 = \frac{3 \cdot 242}{2} = 363$ i $S_6 = \frac{3 \cdot 728}{2} = 1092$ .

Odpowiedź

po $6$ dniach.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Rozpoznać w treści stałą różnicę (ciąg arytmetyczny) albo stały iloraz (ciąg geometryczny).
Zamienić zmianę o $p\%$ na iloraz $1 + \frac{p}{100}$ albo $1 - \frac{p}{100}$ .
Przetłumaczyć treść na $a_1$ , $r$ albo $q$ i $n$ , zanim podstawisz cokolwiek do wzoru.
Odróżnić pytanie o jeden wyraz od pytania o sumę i od pytania o liczbę wyrazów.
Rozwiązać równanie albo nierówność z niewiadomą $n$ i zostawić tylko rozwiązania naturalne.
Sprawdzić wynik drugim wzorem albo wypisaniem kilku pierwszych wyrazów.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania poniżej ćwiczą to, co zostaje po przetłumaczeniu treści: wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz iloraz i sumę ciągu geometrycznego. Kiedy pójdą gładko, wróć do zadań z treścią i zacznij od tabeli z początku tego wpisu. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie Ciągi, a ogólną metodę na zadania tekstowe z każdego działu opisuję we wpisie zadania z treścią na maturze.

Więcej zadań z działu Ciągi

Następny krok Losuj kolejne zadanie z ciągów

Najczęstsze pytania

Jak rozpoznać, czy zadanie z treścią dotyczy ciągu arytmetycznego, czy geometrycznego?

Sprawdź, jak zmienia się wielkość między kolejnymi krokami. Jeśli zawsze o tę samą liczbę (o 30 zł, o 2 krzesła), to ciąg arytmetyczny. Jeśli zawsze tyle samo razy albo o ten sam procent poprzedniej wartości, to ciąg geometryczny.

Jak obliczyć pierwszą ratę, gdy każda kolejna jest mniejsza o stałą kwotę?

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o ujemnej różnicy, a ich suma to kwota pożyczki. Wstaw sumę, liczbę rat i różnicę do wzoru $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n$ i rozwiąż równanie z niewiadomą $a_1$ . Dla pożyczki $8910$ zł spłaconej w $18$ ratach malejących o $30$ zł pierwsza rata to $750$ zł.

Dlaczego we wzorze na n-ty wyraz jest n - 1, a nie n?

Bo od pierwszego do $n$ -tego wyrazu wykonujesz $n - 1$ kroków. Pierwszy wyraz nie ma przed sobą żadnej zmiany, drugi ma jedną, dziesiąty dziewięć. Tak samo między pierwszą a osiemnastą ratą jest siedemnaście obniżek.

Jak zamienić spadek o 20% na iloraz ciągu?

Od stu procent odejmij spadek i zapisz wynik jako ułamek dziesiętny: $100\% - 20\% = 80\%$ , czyli $q = 0{,}8$ . Przy wzroście dodajesz: wzrost o $5\%$ daje $q = 1{,}05$ .

Co zrobić, gdy z sumy wychodzi równanie kwadratowe z n?

Rozwiąż je zwykłą metodą, na przykład przez deltę, i zostaw tylko rozwiązanie będące liczbą naturalną dodatnią. Ujemny pierwiastek nie ma sensu jako liczba rzędów czy tygodni. Jeśli żadne rozwiązanie nie jest naturalne, sprawdź, czy dobrze przetłumaczyłeś treść.

Czy lokata bankowa to też ciąg geometryczny?

Tak. Kapitał po kolejnych latach przy stałym oprocentowaniu i procencie składanym tworzy ciąg geometryczny o ilorazie $1 + \frac{p}{100}$ . Te zadania mają jednak własne pułapki, na przykład kapitalizację co kwartał, więc omawiam je osobno we wpisie o procencie składanym i odsetkach.

Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach z treścią - raty, rzędy krzeseł i wydatki (zadania maturalne)

Jak rozpoznać ciąg w treści zadania

Wyraz, suma czy liczba wyrazów: o co pyta zadanie

Wzory

Przykład 1: Raty malejące o stałą kwotę

Przykład 2: Krzesła w rzędach sali

Przykład 3: Ile rzędów ma widownia

Przykład 4: W którym tygodniu suma przekroczy 480

Przykład 5: Wydatki malejące o 20% dziennie

Przykład 6: Wiadomość, która rozchodzi się coraz szybciej

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Najczęstsze pytania

Jak rozpoznać, czy zadanie z treścią dotyczy ciągu arytmetycznego, czy geometrycznego?

Jak obliczyć pierwszą ratę, gdy każda kolejna jest mniejsza o stałą kwotę?

Dlaczego we wzorze na n-ty wyraz jest n - 1, a nie n?

Jak zamienić spadek o 20% na iloraz ciągu?

Co zrobić, gdy z sumy wychodzi równanie kwadratowe z n?

Czy lokata bankowa to też ciąg geometryczny?

Kategoria: Ciągi

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Którym wyrazem ciągu jest liczba i ile wyrazów ciągu jest ujemnych - zadania maturalne

Granica ciągu - jak obliczyć krok po kroku i zadania z matury rozszerzonej

Kiedy liczby tworzą ciąg arytmetyczny lub geometryczny - warunek i zadania