Kacper przez 5 dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o 20% w stosunku do wydatków poprzedniego dnia. Oblicz kwotę, jaką Kacper wydał w tym czasie, jeśli piątego dnia wydał 20,48 zł.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 168,08
## Analiza problemu
Wydatki każdego dnia były niższe o 20% w stosunku do dnia poprzedniego, co oznacza, że każdego dnia Kacper wydawał 80% kwoty z dnia poprzedniego.
Jeśli oznaczymy wydatki pierwszego dnia jako a₁, to: - dzień 1: a₁ - dzień 2: a₁ · 0,8 - dzień 3: a₁ · 0,8² - dzień 4: a₁ · 0,8³ - dzień 5: a₁ · 0,8⁴
Jest to ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q = 0,8.
## Wyznaczenie pierwszego wyrazu
Wiemy, że piątego dnia wydał 20,48 zł, więc:
a₅ = a₁ · 0,8⁴ = 20,48
Obliczamy 0,8⁴:
0,8⁴ = 0,4096
Stąd:
a₁ = 20,48/0,4096 = 50
## Obliczenie sumy wydatków
Suma wydatków z 5 dni to suma ciągu geometrycznego:
S₅ = a₁ · (1 - q⁵)/(1 - q)
Podstawiamy a₁ = 50, q = 0,8:
S₅ = 50 · (1 - 0,8⁵)/(1 - 0,8)
Obliczamy 0,8⁵:
0,8⁵ = 0,8⁴ · 0,8 = 0,4096 · 0,8 = 0,32768
Podstawiamy:
S₅ = 50 · (1 - 0,32768)/0,2 = 50 · 0,67232/0,2
S₅ = 50 · 3,3616 = 168,08
## Odpowiedź
Kacper wydał w ciągu 5 dni 168,08 zł.
Procenty: Obliczenia procentowe, punkty procentowe, podwyżki i obniżki cen, procent składany oraz zadania o lokatach i podatkach.