Zadania o lokatach i podatkach na maturze: podatek od odsetek, VAT, ceny netto i brutto

Zadanie o lokacie z podatkiem rozwiązujesz w trzech ruchach: liczysz odsetki od kapitału, odejmujesz podatek liczony wyłącznie od tych odsetek, a resztę dodajesz do kapitału. Podatek nigdy nie zmniejsza wpłaconej kwoty, tylko zysk, więc przy oprocentowaniu $4\%$ i podatku $19\%$ realnie zarabiasz $0{,}81 \cdot 4\% = 3{,}24\%$. Zadania o podatku VAT liczysz tym samym narzędziem: cena brutto to cena netto razy $1{,}23$, a cenę netto dostajesz, dzieląc brutto przez $1{,}23$.

Gdzie na maturze pojawiają się lokaty i podatki

Zadania o lokatach i podatkach należą do działu procenty na maturze podstawowej i niemal zawsze mają formę zadania zamkniętego za jeden punkt. Bank, klient i lokata dwuletnia to stały scenariusz: lokata dwuletnia z odsetkami $7\%$ pojawiła się w arkuszu z czerwca 2023, trzyletnia z odsetkami $6\%$ w arkuszu z czerwca 2024, a dwuletnia z odsetkami $6\%$ w arkuszu z maja 2026. Podatek od odsetek wchodzi do treści rzadziej, ale gdy już jest, zmienia cały rachunek: w arkuszu z maja 2015 trzeba było wybrać wzór na kwotę po roku z podatkiem $19\%$.

Zwróć uwagę na dopisek, który CKE stawia w nawiasie prawie w każdym takim zadaniu: „bez uwzględniania podatków”. To nie jest ozdoba. Ten dopisek mówi ci, że liczysz czysty procent składany i nic nie odejmujesz. Gdy dopisku nie ma, a w treści pada słowo „podatek”, musisz go uwzględnić. Gdy z kolei stoi „już po uwzględnieniu podatków”, podane oprocentowanie jest efektywne i podatku nie odejmujesz drugi raz.

Ten wpis łączy trzy typy zadań, które na pierwszy rzut oka wyglądają różnie: lokaty z podatkiem od odsetek, ceny z podatkiem VAT i zadania odwrotne, w których szukasz kwoty sprzed zmiany. Wszystkie trzy rozwiązujesz jednym narzędziem, czyli mnożnikiem procentowym. Jeśli procenty sprawiają ci trudność od podstaw, zacznij od wpisu o tym, jak obliczyć procent z liczby i liczbę z procentu, a potem wróć tutaj.

Słownik pojęć z treści zadań

Zadania finansowe gubią uczniów nie matematyką, tylko słowami. Zanim zaczniesz liczyć, przetłumacz treść na liczby. Oto pojęcia, które CKE stosuje najczęściej.

Kapitał początkowy $K$ to kwota, którą klient wpłacił na lokatę na samym początku. Wszystkie późniejsze kwoty liczysz od niego albo od kapitału, który urósł po kolejnych okresach.

Oprocentowanie w skali roku $p\%$ mówi, ile procent kapitału bank dolicza po roku. Jeśli odsetki są doliczane częściej, na przykład co kwartał, roczne oprocentowanie dzielisz na części: kwartał to $\frac{p}{4}\%$, pół roku to $\frac{p}{2}\%$.

Okres kapitalizacji to odstęp, po którym odsetki dopisuje się do kapitału. Po kapitalizacji odsetki same zaczynają zarabiać, i właśnie na tym polega procent składany. Fraza „od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie” w treści zadania oznacza dokładnie procent składany.

Odsetki to różnica między kwotą na lokacie a kapitałem. Gdy zadanie pyta o „łączną wartość doliczonych odsetek”, odpowiedzią jest sam zysk, bez kapitału. To jedno z najczęstszych miejsc, w których uczeń zaznacza złą odpowiedź, bo podaje całą kwotę.

Podatek od odsetek (w Polsce potocznie nazywany podatkiem od zysków kapitałowych) bank pobiera od samego zysku. Stawkę zawsze dostajesz w treści zadania; w arkuszu z maja 2015 było to $19\%$.

Cena netto to cena bez podatku VAT, a cena brutto to cena z podatkiem. Stawka VAT w zadaniu też zawsze jest podana. W przykładach w tym wpisie przyjmujemy stawkę $23\%$.

Punkt procentowy to różnica między dwiema wartościami wyrażonymi w procentach. Oprocentowanie, które spada z $5\%$ do $4\%$, spada o $1$ punkt procentowy, ale o $20\%$ swojej wartości. Szczegółowo omawiamy to we wpisie o tym, czym punkt procentowy różni się od procentu.

Mnożnik procentowy: jedno narzędzie do wszystkich zadań

Zamiast liczyć osobno „ile to jest $19\%$” i potem odejmować, zamieniaj każdą zmianę procentową na mnożnik. Wzrost o $p\%$ to mnożenie przez $1 + \frac{p}{100}$, spadek o $p\%$ to mnożenie przez $1 - \frac{p}{100}$. Kilka zmian po kolei to iloczyn mnożników.

Zauważ trzeci wiersz. Podatek nie mnoży całej kwoty przez $0{,}81$, bo wtedy klient straciłby część wpłaconych pieniędzy. Przez $0{,}81$ mnożysz tylko odsetki, czyli $0{,}04$, a potem dodajesz jedynkę, która reprezentuje kapitał. To jest cała tajemnica zadań o lokatach z podatkiem.

Mnożnik ma jeszcze jedną zaletę: działa w obie strony. Jeśli znasz kwotę po zmianie, dzielisz ją przez mnożnik i dostajesz kwotę sprzed zmiany. Dzięki temu zadania odwrotne, które wyglądają na trudniejsze, rozwiązujesz jednym dzieleniem.

Wzory

Litera $t$ oznacza stawkę podatku od odsetek, $v$ stawkę VAT, $n$ liczbę lat, a $m$ liczbę kapitalizacji w roku. Wzoru z podatkiem nie musisz uczyć się na pamięć: składasz go sam z dwóch mnożników, więc wystarczy rozumieć, skąd się bierze.

Lokata roczna z podatkiem od odsetek krok po kroku

Weźmy prosty przypadek, zanim przejdziemy do zadania z arkusza. Klient wpłaca $2000$ zł na roczną lokatę oprocentowaną $5\%$. Po roku bank pobiera podatek $19\%$ od naliczonych odsetek. Ile klient wypłaci?

Krok pierwszy to odsetki: $2000 \cdot 0{,}05 = 100$ zł. Krok drugi to podatek od odsetek: $100 \cdot 0{,}19 = 19$ zł. Krok trzeci to odsetki po podatku: $100 - 19 = 81$ zł. Na koniec dodajesz je do kapitału: $2000 + 81 = 2081$ zł.

Ten sam wynik daje jeden mnożnik: $2000 \cdot (1 + 0{,}81 \cdot 0{,}05) = 2000 \cdot 1{,}0405 = 2081$ zł. Liczba $4{,}05\%$ to efektywne oprocentowanie po podatku. Opłaca się ją policzyć na początku, bo przy lokacie wieloletniej podstawiasz ją do wzoru na procent składany.

Najczęstszy błąd w tym miejscu to policzenie podatku od całej kwoty: $2100 \cdot 0{,}81 = 1701$ zł. Taki wynik jest mniejszy od wpłaty, więc od razu widać, że jest absurdalny. Lokata z dodatnim oprocentowaniem nigdy nie oddaje mniej, niż wpłaciłeś. Ten prosty test rozsądku odrzuca w zadaniach zamkniętych przynajmniej jedną błędną odpowiedź.

Teraz ty

Spróbuj sam zadania z oprocentowaniem podanym już po uwzględnieniu podatków: tu podatku nie odejmujesz, tylko liczysz procent składany przez dziesięć lat.

Lokata wieloletnia i podatek pobierany co roku

Przy lokacie na kilka lat zadanie musi powiedzieć, kiedy bank pobiera podatek. Są dwie możliwości i dają różne wyniki.

Podatek po każdym roku. Odsetki po podatku dopisuje się do kapitału co roku, więc w kolejnym roku zarabia tylko to, co zostało po opodatkowaniu. Liczysz wtedy procent składany z efektywnym oprocentowaniem $\left(1 - \frac{t}{100}\right) \cdot p\%$. Przy $5\%$ i podatku $19\%$ to $4{,}05\%$, więc po $n$ latach masz $K \cdot 1{,}0405^n$.

Podatek raz, na końcu. Kapitał rośnie przez cały czas z pełnym oprocentowaniem, a podatek zabiera $19\%$ od wszystkich odsetek naraz po zamknięciu lokaty. Liczysz wtedy najpierw $K \cdot 1{,}05^n$, odejmujesz kapitał, żeby dostać odsetki, mnożysz je przez $0{,}81$ i dodajesz z powrotem kapitał.

Na maturze podstawowej częściej trafisz na pierwszy wariant ukryty w treści: „oprocentowanie wynosi $3\%$ w skali roku (już po uwzględnieniu podatków)”. To zdanie oznacza, że ktoś policzył efektywne oprocentowanie za ciebie i podstawiasz je wprost do wzoru na procent składany. Wzór na procent składany i to, jak liczyć odsetki z kolejnych lat, rozkładamy na części we wpisie o tym, jak działa procent składany na maturze.

Kapitalizacja kilka razy w roku

Gdy bank dopisuje odsetki częściej niż raz w roku, zmieniają się dwie rzeczy naraz: oprocentowanie jednego okresu i liczba okresów. Przy rocznej stopie $3\%$ i kapitalizacji co cztery miesiące rok dzieli się na trzy okresy, więc w każdym bank dolicza $\frac{3\%}{3} = 1\%$. Osiem miesięcy to dwa takie okresy, czyli wykładnik $2$, a nie $8$ ani $\frac{8}{12}$.

Uczniowie często zapominają o jednej z tych dwóch zmian. Podstawiają $3\%$ i liczbę okresów albo $1\%$ i liczbę lat. Zawsze zapisz sobie obok treści dwie liczby: oprocentowanie jednego okresu i liczbę okresów. Dopiero wtedy podstawiaj do wzoru. Poniżej zadanie otwarte za dwa punkty, w którym obie zmiany trzeba zrobić samodzielnie, a do tego zadanie jest odwrotne: znasz przyrost, szukasz wpłaty.

Jeśli chcesz zobaczyć, jak szybko rośnie kapitał przy różnych oprocentowaniach i liczbie lat, sprawdź to w kalkulatorze poniżej. Wpisz to samo oprocentowanie raz bez podatku, a raz pomnożone przez $0{,}81$, i porównaj wyniki.

Podatek VAT: cena netto i cena brutto

Zadania z VAT-em są prostsze od lokat, bo nie ma w nich upływu czasu, ale kryją jedną pułapkę, na której traci punkty mnóstwo osób. Cena brutto powstaje z ceny netto przez doliczenie podatku: $B = N \cdot 1{,}23$ przy stawce $23\%$. Towar za $200$ zł netto kosztuje więc $200 \cdot 1{,}23 = 246$ zł brutto.

Kłopot zaczyna się w drugą stronę. Skoro VAT to $23\%$, kusi, żeby od ceny brutto odjąć $23\%$. Tymczasem $23\%$ liczy się od ceny netto, a nie od brutto. Dla $246$ zł brutto odjęcie $23\%$ daje $246 \cdot 0{,}77 = 189{,}42$ zł, a nie $200$ zł. Poprawnie dzielisz: $246 : 1{,}23 = 200$ zł.

Ta sama zasada działa przy każdej zmianie ceny. Podwyżka o $25\%$, po której następuje obniżka o $25\%$, nie wraca do ceny wyjściowej: $1{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}9375$, czyli cena spada o $6{,}25\%$. Więcej takich par podwyżek i obniżek znajdziesz w zestawie zadań CKE z procentów z rozwiązaniami.

Kwota samego podatku VAT to różnica między ceną brutto a netto. Z ceny netto liczysz ją jako $N \cdot 0{,}23$. Z ceny brutto najprościej najpierw policzyć netto, a potem odjąć. Przy $246$ zł brutto podatek to $246 - 200 = 46$ zł, czyli $\frac{23}{123}$ ceny brutto, a nie $23\%$ tej ceny.

Zadania odwrotne: kwota przed podatkiem i przed lokatą

Zadanie odwrotne podaje wynik zmiany procentowej i pyta o punkt wyjścia. Klient odebrał z lokaty pewną kwotę, a ty masz policzyć, ile wpłacił. Klient dostał odsetki po podatku, a ty masz policzyć odsetki przed podatkiem. Schemat jest zawsze ten sam: zapisz równanie z mnożnikiem i podziel.

Przy odsetkach po podatku $243$ zł i podatku $19\%$ odsetki przed podatkiem to $\frac{243}{0{,}81} = 300$ zł. Przy kwocie $4851$ zł po dwóch latach z odsetkami $5\%$ wpłata to $\frac{4851}{1{,}05^2}$. W obu przypadkach sprawdzenie mnożeniem trwa kilka sekund i chroni przed pomyłką w dzieleniu.

W zadaniach zamkniętych masz jeszcze szybszą drogę: pomnóż każdą z odpowiedzi przez mnożnik i zobacz, która daje kwotę z treści. To nie jest oszukiwanie, tylko rozsądne wykorzystanie formy zadania, zwłaszcza gdy dzielenie przez $1{,}1025$ bez kalkulatora z pamięcią wydaje się męczące.

Kredyt, prowizja i punkty procentowe

Kredyty na maturze podstawowej pojawiają się rzadziej niż lokaty i zwykle nie wymagają liczenia rat. Typowe zadanie sprawdza, czy odróżniasz zmianę o punkt procentowy od zmiany procentowej. Prowizja, oprocentowanie kredytu i stopa podatku są wyrażone w procentach, więc ich zmianę można opisać na dwa sposoby i oba dają inne liczby.

Zmiana w punktach procentowych to zwykłe odejmowanie: z $4\%$ do $3\%$ to $1$ punkt procentowy. Zmiana procentowa to ta różnica podzielona przez wartość wyjściową: $\frac{1}{4} = 25\%$. Szerszy przegląd wszystkich typów zadań z działu, od zmian cen po lokaty, znajdziesz we wpisie o tym, jak wyglądają procenty na maturze.

Najczęstsze błędy w zadaniach o lokatach i podatkach

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej masz zadania z prawdziwych arkuszy CKE o lokatach. Każde ma rozwiązanie krok po kroku, więc po próbie od razu sprawdzisz, czy pomnożyłeś przez dobry mnożnik.

• Matura maj 20261 pkt
  Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie, zgodnie z procentem składanym. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
• Matura cze 20241 pkt
  Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości $K_0$ zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $6 \%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
• Matura prób. CKE gru 20241 pkt
  Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę $60000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości $p \%$ w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa $67925,76$ zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe
• Matura cze 20231 pkt
  Klient wpłacił do banku $30\ 000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $7\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
• Matura maj 20151 pkt
  Kwotę $1000$ zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości $4\%$ w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości $19\%$. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa
• Matura prób. CKE gru 20231 pkt
  Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości $5\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę $4851$ zł (bez uwzględnienia podatków). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa

Najczęstsze pytania