Zadania CKE z procentów z rozwiązaniami krok po kroku

Procenty to dział, którego nie da się ominąć. Pojawia się prawie na każdej maturze z matematyki, w zadaniach zamkniętych i otwartych, a do tego wraca w innych działach: w statystyce, w prawdopodobieństwie, w zadaniach z treścią o pieniądzach. Dobra wiadomość jest taka, że to jeden z najbardziej przewidywalnych tematów na egzaminie. Wystarczy kilka wzorów i trochę wprawy, a punkty z procentów masz właściwie pewne.

Na tej stronie zebrałem dla ciebie zadania maturalne CKE z procentów wraz z rozwiązaniami krok po kroku. Zaczniemy od teorii i wzorów, potem rozwiążemy typowe przykłady z prawdziwych arkuszy, a na końcu pokażę ci, gdzie ćwiczyć dalej. Wszystkie zadania w naszej bazie pochodzą z oficjalnych arkuszy Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, więc trenujesz dokładnie to, co może wpaść na twoim egzaminie.

Procenty na maturze - dlaczego warto je opanować w pierwszej kolejności

Procenty są w kanonie tak zwanych pewniaków. W każdym arkuszu poziomu podstawowego znajdziesz co najmniej jedno, a często dwa zadania, które sprawdzają, czy umiesz policzyć procent z liczby, zmianę procentową albo procent składany. To są łatwe punkty - pod warunkiem, że nie pomylisz się w prostym rachunku.

W naszej bazie mamy dziesiątki zadań z procentów z różnych lat. Jeśli chcesz przejść przez całą teorię tego działu uporządkowaną pod egzamin, zajrzyj do przewodnika procenty na maturze - zadania, wzory, procent składany. Tutaj skupiamy się na zadaniach CKE i ich rozwiązaniach, żebyś zobaczył, jak teoria działa na prawdziwym arkuszu. Wszystkie zadania z tego działu znajdziesz też na stronie tematu Procenty.

Wzory, które musisz znać

Cała trudność procentów sprowadza się do trzech podstawowych operacji. Naucz się ich raz, a porażki nie będzie.

Procent z liczby. Aby obliczyć $p\%$ z liczby $a$, liczysz:

$p\% \text{ z } a = a \cdot \frac{p}{100}$

Jakim procentem jednej liczby jest druga. Aby sprawdzić, jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$:

$\frac{a}{b} \cdot 100\%$

Liczba z procentu. Jeśli wiesz, że $p\%$ pewnej liczby to $b$, to sama liczba wynosi:

$a = \frac{b \cdot 100}{p}$

Do tego dochodzi procent składany, czyli wzór na kapitał po $n$ okresach przy oprocentowaniu $p\%$ na okres:

$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Wszystkie te wzory masz w naszej karcie wzorów, więc nie musisz uczyć się ich na pamięć w panice. Lepiej zrozumieć, kiedy który stosować.

Procenty w innych działach matury

Procenty rzadko występują w czystej postaci. Najczęściej są wplecione w zadania z treścią, w statystykę (gdzie liczysz, jaki procent danych spełnia warunek) albo w prawdopodobieństwo (gdzie prawdopodobieństwo często podaje się w procentach). Dlatego opanowanie tego działu zwraca się podwójnie - punktujesz nie tylko w zadaniach wprost o procentach, ale też wszędzie tam, gdzie się one pojawiają. Jeśli chcesz zobaczyć, jak procenty łączą się ze statystyką, zajrzyj do zadań CKE z prawdopodobieństwa z rozwiązaniami.

Punkty procentowe a procenty - nie myl tego

To rozróżnienie potrafi kosztować punkt. Jeśli zdawalność wzrosła z 70% na 75%, to wzrosła o 5 punktów procentowych, ale o około 7,14% (bo $\frac{5}{70} \cdot 100\% \approx 7{,}14\%$). CKE lubi sprawdzać, czy rozumiesz tę różnicę, zwłaszcza w zadaniach z treścią o statystyce i sondażach. Gdy w zadaniu pojawia się słowo punkty procentowe, czytaj treść bardzo uważnie.

Najczęstsze pułapki w zadaniach z procentów

Pierwsza pułapka to liczenie zmiany procentowej od złej podstawy. Zawsze odnoś zmianę do wartości początkowej. Druga to dodawanie procentów zamiast mnożenia współczynników przy zmianach łączonych. Trzecia to mylenie procentu prostego ze składanym - przy lokatach wieloletnich prawie zawsze chodzi o składany. Czwarta to nieuważne potraktowanie punktów procentowych jako procentów. Jeśli zapamiętasz te cztery rzeczy, większość zadań z tego działu zrobisz bezbłędnie.

Gdzie ćwiczyć zadania CKE z procentów

Teoria to jedno, ale punkty na maturze zdobywa się ćwiczeniem. W naszej bazie masz komplet zadań z procentów z oficjalnych arkuszy CKE wraz z rozwiązaniami krok po kroku. Najlepiej zacząć tak:

Wejdź na stronę tematu Procenty i przerób zadania po kolei, od najprostszych zamkniętych po zadania z treścią. Jeśli wolisz losowy trening, użyj funkcji losuj zadanie, która podrzuci ci zadanie z całej bazy. Gdy utkniesz na konkretnym przykładzie, wpisz go do solvera albo zrób zdjęcie i zobacz rozwiązanie krok po kroku. Postępy śledzisz w panelu postępów, dzięki czemu widzisz, które typy zadań masz już opanowane.

Chcesz potrenować procenty w kontekście całego arkusza? Przejdź przez nasze arkusze maturalne 2010-2025 - kompletna baza zadań i rozwiąż cały egzamin na czas. Procenty znajdziesz prawie w każdym z nich.

Jak uczyć się procentów z telefonu

Procenty to idealny dział do nauki w krótkich seriach - na przerwie, w autobusie, przed snem. Jedno, dwa zadania dziennie i po tygodniu masz ten temat z głowy. O tym, jak wygodnie ćwiczyć zadania CKE na telefonie i którą aplikację do matury z matematyki wybrać, piszę w osobnym poradniku. Cała nasza baza działa w przeglądarce telefonu, więc nie musisz nic instalować.

Podsumowanie - co musisz umieć z procentów

Zanim uznasz, że masz ten dział opanowany, sprawdź, czy potrafisz: obliczyć procent z liczby, sprawdzić jakim procentem jednej liczby jest druga, wyznaczyć liczbę na podstawie jej procentu, policzyć zmianę procentową od poprawnej podstawy, połączyć dwie zmiany procentowe przez mnożenie współczynników oraz zastosować wzór na procent składany. Jeśli każdy z tych punktów odhaczasz bez wahania, procenty na maturze to dla ciebie pewne punkty.

Najlepszy następny krok? Wejdź na Procenty i rozwiąż pięć zadań z rzędu. Jeśli pójdzie gładko, przejdź do trudniejszych działów, na przykład do zadań CKE z funkcji kwadratowej albo zadań CKE z ciągów. Powodzenia.

Następny krok Losuj kolejne zadanie