Zadania CKE z ciągów z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Ciągi to jeden z najpewniejszych działów na maturze z matematyki - schematyczny, przewidywalny i hojny w punkty. W naszej bazie znajdziesz 218 zadań z ciągów pochodzących z prawdziwych arkuszy CKE: od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i diagnostyczne. Każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań wracają i prowadzi przez kilka rozwiązanych przykładów CKE.

Ile ciągów jest na maturze

Ciągi pojawiają się na praktycznie każdej maturze podstawowej - zwykle jako 1-3 zadania zamknięte i często jedno zadanie otwarte. To realnie od 3 do 6 punktów na arkuszu. Przy progu zdawalności na poziomie 30 procent to są punkty, których po prostu nie wolno oddawać.

Dobra wiadomość jest taka, że ten dział jest mało zmienny. Zadania sprowadzają się do kilku powtarzalnych typów: wyznaczanie wyrazu ciągu, obliczanie sumy, wyznaczanie pierwszego wyrazu i różnicy lub ilorazu z warunków, sprawdzanie, czy liczby tworzą ciąg. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, rozwiążesz prawie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię znajdziesz w przewodniku ciągi na maturze oraz w tekście ciągi arytmetyczne i geometryczne.

Co musisz umieć - mapa działu

Zanim rzucisz się na zadania, sprawdź, czy znasz komplet wzorów. Wszystkie są w karcie wzorów CKE, ale warto mieć je w głowie, bo oszczędzają czas.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$:

$a_n=a_1+(n-1)r$

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego dla $q\neq 1$:

$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$

Warunek na to, że trzy kolejne wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny (środkowy jest średnią sąsiadów):

$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$

Warunek na ciąg geometryczny (kwadrat środkowego to iloczyn sąsiadów):

$a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}$

Każdy z tych wątków ma u nas osobny poradnik z zadaniami: ciąg geometryczny - wzór, suma, iloraz, suma ciągu arytmetycznego i geometrycznego oraz ciąg rekurencyjny.

Baza zadań CKE według typu

Zadania z ciągów dzielą się na zamknięte (1 punkt, wybór odpowiedzi) i otwarte (2-4 punkty, pełne rozwiązanie). Oto jak rozkładają się najczęstsze typy i gdzie je ćwiczyć.

Najwięcej zadań tego działu pochodzi z arkuszy CKE 2015-2023 oraz z najnowszych arkuszy pokazowych CKE 2025. Wszystkie rozwiążesz w trybie nauki, gdzie po każdym zadaniu dostajesz pełne rozwiązanie.

Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Poniżej sześć zadań z ciągów w stylu CKE, każde rozwiązane od początku do końca. Ten sam zestaw schematów znajdziesz w setkach zadań w bazie.

Zadanie 1

W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz to $a_1=5$, a różnica $r=3$. Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu.

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz: $a_n=a_1+(n-1)r$. Podstawiamy $n=20$:

$a_{20}=5+(20-1)\cdot 3=5+19\cdot 3=5+57=62$

Dwudziesty wyraz wynosi $62$.

Zadanie 2

W ciągu arytmetycznym $a_3=11$ oraz $a_7=27$. Wyznacz pierwszy wyraz $a_1$ i różnicę $r$.

Zapisujemy oba wyrazy wzorem ogólnym: $a_3=a_1+2r$ i $a_7=a_1+6r$. Odejmujemy równania stronami:

$a_7-a_3=4r=27-11=16$

Stąd $r=4$. Wracamy do $a_3=a_1+2r=11$, czyli $a_1+8=11$, więc $a_1=3$. Pierwszy wyraz to $3$, różnica $4$.

Zadanie 3

Oblicz sumę trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_1=4$ i $r=2$.

Najpierw trzydziesty wyraz: $a_{30}=4+(30-1)\cdot 2=4+58=62$. Teraz suma:

$S_{30}=\frac{a_1+a_{30}}{2}\cdot 30=\frac{4+62}{2}\cdot 30=33\cdot 30=990$

Suma wynosi $990$.

Zadanie 4

W ciągu geometrycznym $a_1=3$, a iloraz $q=2$. Oblicz szósty wyraz.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Podstawiamy $n=6$:

$a_6=3\cdot 2^{5}=3\cdot 32=96$

Szósty wyraz to $96$.

Zadanie 5

Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_1=2$ i $q=3$.

Korzystamy ze wzoru na sumę dla $q\neq 1$:

$S_5=a_1\cdot\frac{1-q^5}{1-q}=2\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=2\cdot\frac{1-243}{-2}=2\cdot\frac{-242}{-2}=2\cdot 121=242$

Dla pewności sprawdzamy bezpośrednio: $2+6+18+54+162=242$. Wynik się zgadza.

Zadanie 6

Liczby $2$, $x$, $18$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, przy czym $x>0$. Wyznacz $x$.

Korzystamy z warunku geometrycznego: kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów.

$x^2=2\cdot 18=36$

Stąd $x=6$ lub $x=-6$. Ponieważ $x>0$, bierzemy $x=6$. Sprawdzenie: ciąg $2, 6, 18$ ma iloraz $q=3$, więc warunek jest spełniony.

Najczęstsze typy zadań i pułapki

Po przerobieniu kilkudziesięciu zadań z tego działu zauważysz, że pułapki się powtarzają. Oto te, które najczęściej kosztują punkty.

Pułapka pierwsza: indeks $n-1$ we wzorze na wyraz. W ciągu arytmetycznym $a_n=a_1+(n-1)r$, a nie $a_1+nr$. Przy dwudziestym wyrazie mnożysz różnicę przez $19$, a nie przez $20$. To najczęstszy błąd w całym dziale.

Pułapka druga: mylenie wzorów ciągu arytmetycznego z geometrycznym. W arytmetycznym dodajesz różnicę, w geometrycznym mnożysz przez iloraz. Zanim zaczniesz liczyć, ustal, z jakim ciągiem masz do czynienia.

Pułapka trzecia: dwa rozwiązania w warunku geometrycznym. Z równania $x^2=36$ wychodzi $x=6$ oraz $x=-6$. Jeśli zadanie nie ogranicza znaku, podaj oba. Pominięcie jednego to utrata punktów.

Pułapka czwarta: wzór na sumę geometryczną działa tylko dla $q\neq 1$. Gdy $q=1$, wszystkie wyrazy są równe i suma to po prostu $S_n=n\cdot a_1$. Podstawianie do ułamka z zerem w mianowniku to klasyczny błąd. Więcej o takich potknięciach w poradniku błędy rachunkowe na maturze.

Pułapka piąta: liczenie wyrazu zamiast sumy albo na odwrót. Czytaj polecenie do samego końca. Czasem zadanie pyta o konkretny wyraz ciągu, a czasem o sumę kilku początkowych wyrazów. To dwa różne wzory i pod presją czasu bardzo łatwo je pomylić, tracąc punkty za dobrze rozpoczęte rozwiązanie.

Jak czytać rozwiązanie krok po kroku

Samo zerknięcie na odpowiedź nic nie daje. Zysk pojawia się dopiero wtedy, gdy rozumiesz każdy krok. Dlatego rozwiązania w bazie nie podają samego wyniku - prowadzą cię przez całą drogę: od tego, co jest dane, przez wybór wzoru, aż po obliczenia.

Czytaj rozwiązanie aktywnie. Po każdym kroku zatrzymaj się i zapytaj: dlaczego akurat ten wzór, dlaczego ta kolejność. W zadaniu 2 powyżej kluczowy był pomysł, żeby odjąć równania stronami i pozbyć się $a_1$. W zadaniu 6 trik polegał na zastosowaniu warunku geometrycznego zamiast zgadywania. To są schematy, które wracają na maturze.

Najlepszy nawyk to zasłonić rozwiązanie i spróbować dojść do wyniku samemu, odsłaniając kolejne kroki tylko wtedy, gdy naprawdę utkniesz. Jeśli masz własne zadanie, którego nie ma w bazie, wrzuć je do solvera - dostaniesz rozpisane rozwiązanie w tym samym stylu, nawet ze zdjęcia. O sprawdzaniu własnych obliczeń piszemy w poradniku jak sprawdzać odpowiedzi na maturze.

Od czego zacząć, jeśli ten dział leży

Jeśli ciągi na razie ci nie idą, zacznij od ciągu arytmetycznego - jest prostszy. Najpierw opanuj sam wzór na n-ty wyraz: podstawiasz dane i masz wynik. Potem dorzuć sumę $S_n$, bo połowa zadań otwartych z tego działu sprowadza się właśnie do policzenia sumy.

Dopiero potem przejdź do ciągu geometrycznego i do zadań, w których wyznaczasz $a_1$ oraz $r$ lub $q$ z dwóch warunków. Taka kolejność - od zadań jednokrokowych do złożonych - buduje pewność, zamiast od razu zderzać cię ze ścianą. Jeśli braki masz głębsze, sięgnij po jak uczyć się matematyki od zera. Zadania otwarte z sumami i monotonicznością rozpisaliśmy w tekście ciągi na maturze - suma i monotoniczność.

Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Najlepszy sposób na ciągi to dużo zadań z natychmiastową informacją zwrotną. Oto jak to ułożyć na sprawnamatura.pl.

Zacznij od trybu losowego z filtrem na ciągi - dostajesz zadanie po zadaniu, a po każdym pełne rozwiązanie. Gdy utkniesz na własnym zadaniu albo chcesz sprawdzić obliczenia, wrzuć je do solvera. Kiedy poczujesz, że typy wchodzą automatycznie, rozwiąż cały arkusz CKE albo przejdź przez symulator matury, żeby przećwiczyć dział pod presją czasu. Postępy śledź na stronie statystyk.

Jeśli uczysz się sam, bez korepetytora, ten dział jest idealny na początek - jest schematyczny i daje pewne punkty. Jak zbudować z darmowych zasobów własny program nauki, opisaliśmy w tekście kurs maturalny z matematyki online - czy warto.

Najczęstsze pytania

Podsumowanie - co musisz umieć

Z ciągów na maturze podstawowej musisz pewnie liczyć: n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i geometrycznego, sumę $S_n$ obu ciągów, wyznaczanie $a_1$ oraz $r$ lub $q$ z warunków, a także sprawdzanie warunku arytmetycznego i geometrycznego. To zestaw, który zamyka większość zadań z tego działu.

Masz 218 zadań CKE z ciągów z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w trybie nauki już dziś. A jeśli zastanawiasz się, czy potrzebujesz płatnego kursu, najpierw przeczytaj kurs maturalny z matematyki online - czy warto i sprawdź, jak daleko zajdziesz za darmo.

Następny krok Losuj kolejne zadanie