Ciąg rekurencyjny - jak obliczyć wyrazy i wyznaczyć wzór ogólny (matura)

"Ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym" - i już połowa sali ma stres. Niepotrzebnie. Wzór rekurencyjny to nic strasznego: to po prostu przepis, który mówi ci, jak z jednego wyrazu policzyć następny. Zamiast podawać gotowy wzór na $n$-ty wyraz, zadanie daje ci punkt startowy i regułę przejścia. Twoja robota to albo policzyć kilka pierwszych wyrazów, albo rozpoznać, że to ukryty ciąg arytmetyczny lub geometryczny, i wypisać wzór ogólny. W tym wpisie pokażę ci jak robić jedno i drugie.

To temat z działu ciągi, więc świetnie łączy się z naszym przewodnikiem ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze. Konkurencja prawie nie ma porządnych materiałów o rekurencji - najwyżej jedno wideo albo wątek na forum - więc jeśli to ogarniesz, będziesz mieć przewagę na maturze.

Co to jest wzór rekurencyjny

Wzór rekurencyjny ciągu składa się z dwóch części. Pierwsza to wyraz początkowy, najczęściej $a_1$ (czasem podane są dwa pierwsze wyrazy). Druga to reguła, która mówi, jak policzyć kolejny wyraz na podstawie poprzedniego - zwykle w postaci $a_{n+1} = \text{coś z } a_n$. Klasyczny przykład:

$$a_1 = 3, \qquad a_{n+1} = a_n + 4$$

Czytasz to tak: pierwszy wyraz wynosi 3, a każdy następny powstaje przez dodanie 4 do poprzedniego. To wszystko. Mając te dwie informacje, możesz odtworzyć cały ciąg, wyraz po wyrazie.

Różnica między wzorem rekurencyjnym a wzorem ogólnym jest taka: wzór ogólny $a_n = 4n - 1$ pozwala policzyć od razu np. setny wyraz, podstawiając $n = 100$. Wzór rekurencyjny wymaga, żeby najpierw znać poprzedni wyraz. Dlatego często celem zadania jest zamiana rekurencji na wzór ogólny - i o tym powiemy za chwilę.

Jak policzyć kolejne wyrazy ciągu rekurencyjnego

Najprostszy typ zadania: "oblicz cztery pierwsze wyrazy". Robisz to mechanicznie, podstawiając kolejno $n = 1, 2, 3, \dots$ do reguły.

Przykład 1

Dany ciąg: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$. Oblicz $a_2, a_3, a_4$.

$$a_2 = a_1 + 4 = 3 + 4 = 7$$
$$a_3 = a_2 + 4 = 7 + 4 = 11$$
$$a_4 = a_3 + 4 = 11 + 4 = 15$$

Czyli kolejne wyrazy to $3, 7, 11, 15, \dots$. Zauważ, że za każdym razem dodajemy stałą liczbę 4 - to znak, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Wrócimy do tego w następnej sekcji.

Uważaj tylko na indeksy: $a_{n+1} = a_n + 4$ oznacza, że żeby policzyć $a_2$, bierzesz $n = 1$, więc $a_{1+1} = a_1 + 4$. Najczęstszy błąd to liczenie o jeden wyraz za dużo albo za mało.

Przykład 2

Dany ciąg: $b_1 = 2$, $b_{n+1} = 3 b_n$. Oblicz cztery pierwsze wyrazy.

$$b_2 = 3 \cdot 2 = 6, \quad b_3 = 3 \cdot 6 = 18, \quad b_4 = 3 \cdot 18 = 54$$

Wyrazy to $2, 6, 18, 54, \dots$. Tym razem każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę 3 - to znak ciągu geometrycznego.

Jak rozpoznać ukryty ciąg arytmetyczny lub geometryczny

To klucz do większości zadań maturalnych z rekurencji. Spójrz na regułę przejścia i zadaj sobie pytanie:

Jeśli reguła ma postać $a_{n+1} = a_n + r$, gdzie $r$ to stała liczba (dodatnia lub ujemna), to ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r$. Wzór ogólny:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$

Jeśli reguła ma postać $a_{n+1} = q \cdot a_n$, gdzie $q$ to stała liczba różna od zera, to ciąg jest geometryczny o ilorazie $q$. Wzór ogólny:

$$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$$

Te dwa wzory ogólne znajdziesz w karcie wzorów, ale musisz wiedzieć, kiedy je zastosować. Jeśli chcesz odświeżyć podstawy, mamy osobne wpisy jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego oraz ciąg geometryczny - wzór, suma, iloraz.

Przykład 3

Ciąg dany rekurencyjnie: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$ (ten sam, co w przykładzie 1). Wyznacz wzór ogólny.

Reguła to dodawanie stałej 4, więc ciąg jest arytmetyczny: $a_1 = 3$, $r = 4$. Podstawiamy do wzoru:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$$

Wzór ogólny to $a_n = 4n - 1$. Sprawdzenie: $a_1 = 4 \cdot 1 - 1 = 3$ (zgadza się), $a_4 = 4 \cdot 4 - 1 = 15$ (też zgadza się z przykładem 1). Mając teraz wzór ogólny, policzysz dowolny wyraz bez liczenia wszystkich poprzednich.

Przykład 4

Ciąg: $c_1 = 5$, $c_{n+1} = c_n - 3$. Wyznacz wzór ogólny i oblicz $c_{10}$.

Tu odejmujemy stałą 3, czyli różnica jest ujemna: $r = -3$, $c_1 = 5$. Wzór ogólny:

$$c_n = 5 + (n - 1) \cdot (-3) = 5 - 3n + 3 = 8 - 3n$$

Stąd $c_{10} = 8 - 3 \cdot 10 = 8 - 30 = -22$. Gdybyśmy liczyli rekurencyjnie, musielibyśmy wypisać dziesięć wyrazów - wzór ogólny załatwia to jednym podstawieniem. To pokazuje, po co w ogóle zamieniamy rekurencję na wzór ogólny.

Gdy reguła nie daje stałej różnicy - metoda teleskopowa

Czasem reguła ma postać $a_{n+1} = a_n + f(n)$, gdzie do poprzedniego wyrazu dodajemy coś, co zależy od $n$ - na przykład $a_{n+1} = a_n + 2n$. Wtedy ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny, ale wzór ogólny i tak da się wyznaczyć, sumując wszystkie przyrosty. To technika trochę trudniejsza, raczej na rozszerzeniu, ale warto ją zobaczyć.

Przykład 5

Ciąg: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2n$. Oblicz $a_2, a_3, a_4$ i wyznacz wzór ogólny.

Najpierw wyrazy:

$$a_2 = a_1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$$
$$a_3 = a_2 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$$
$$a_4 = a_3 + 2 \cdot 3 = 7 + 6 = 13$$

Różnice między wyrazami to 2, 4, 6 - nie są stałe, więc ciąg nie jest arytmetyczny. Żeby dostać wzór ogólny, dodajemy wszystkie przyrosty od $a_1$ do $a_n$:

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$$

Sprawdzenie: $a_1 = 1 - 1 + 1 = 1$, $a_3 = 9 - 3 + 1 = 7$, $a_4 = 16 - 4 + 1 = 13$. Wszystko gra. Skorzystaliśmy tu ze wzoru na sumę kolejnych liczb naturalnych, który poznasz dokładniej we wpisie jak obliczyć sumę ciągu.

Zadania na dowód - wykaż, że ciąg jest arytmetyczny

Bardzo lubiany typ zadania otwartego: dostajesz wzór ogólny i masz wykazać, że ciąg jest arytmetyczny (albo geometryczny), a następnie zapisać go rekurencyjnie. Sztuczka jest prosta: policz różnicę $a_{n+1} - a_n$ i pokaż, że wychodzi stała.

Przykład 6

Wykaż, że ciąg $a_n = 2n + 3$ jest arytmetyczny, a następnie zapisz go wzorem rekurencyjnym.

Liczymy różnicę dwóch sąsiednich wyrazów:

$$a_{n+1} - a_n = \big(2(n+1) + 3\big) - (2n + 3) = 2n + 2 + 3 - 2n - 3 = 2$$

Różnica jest stała i równa 2, niezależnie od $n$ - to dowodzi, że ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r = 2$. Pierwszy wyraz: $a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$. Zatem wzór rekurencyjny to:

$$a_1 = 5, \qquad a_{n+1} = a_n + 2$$

Zwróć uwagę, że to jest odwrotność tego, co robiliśmy w przykładzie 3: tam z rekurencji szliśmy do wzoru ogólnego, tu ze wzoru ogólnego do rekurencji. Maturzysta musi umieć poruszać się w obie strony. Więcej o pisaniu dowodów krok po kroku znajdziesz we wpisie ciągi - suma, monotoniczność, zadania otwarte.

Ciąg z dwoma wyrazami początkowymi

Czasem reguła odwołuje się do dwóch poprzednich wyrazów - wtedy zadanie podaje dwa pierwsze wyrazy. Najsłynniejszy przykład to ciąg Fibonacciego: $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$. Każdy wyraz to suma dwóch poprzednich: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$. Na maturze podstawowej takie ciągi pojawiają się rzadko i prawie zawsze wystarczy policzyć kilka wyrazów, bo wzór ogólny dla rekurencji dwuwyrazowych jest skomplikowany i wykracza poza wymagania.

Przykład 7

Dany ciąg: $a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n$. Oblicz $a_3$ i $a_4$.

$$a_3 = 2a_2 - a_1 = 2 \cdot 5 - 2 = 8$$
$$a_4 = 2a_3 - a_2 = 2 \cdot 8 - 5 = 11$$

Wyrazy to $2, 5, 8, 11, \dots$ - rosną co 3, więc to w istocie ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Reguła $a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n$ to zresztą ukryty warunek na ciąg arytmetyczny: po przekształceniu daje $a_{n+1} = \frac{a_n + a_{n+2}}{2}$, czyli każdy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów. To bardzo lubiany trop w zadaniach na dowód - jeśli widzisz, że wyraz środkowy jest średnią dwóch skrajnych, masz ciąg arytmetyczny.

Rekurencja w zadaniach praktycznych

Rekurencja to nie tylko abstrakcja - opisuje realne procesy, w których stan w kolejnym kroku zależy od poprzedniego. Najlepszy przykład to procent składany. Jeśli wpłacasz kapitał i co roku dopisywane są odsetki $p\%$, to stan konta tworzy ciąg geometryczny dany rekurencyjnie: $K_{n+1} = K_n \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$. To dokładnie reguła ciągu geometrycznego o ilorazie $q = 1 + \frac{p}{100}$, więc po $n$ latach $K_n = K_0 \cdot q^{\,n}$. Rozwijamy ten wątek we wpisie procent składany - wzór, zadania, odsetki.

Przykład 8

Na lokatę wpłacono 1000 zł przy oprocentowaniu 5% rocznie z kapitalizacją roczną. Zapisz stan konta wzorem rekurencyjnym i oblicz, ile będzie po dwóch latach.

Stan początkowy $K_0 = 1000$, reguła $K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}05$. Liczymy:

$$K_1 = 1000 \cdot 1{,}05 = 1050, \qquad K_2 = 1050 \cdot 1{,}05 = 1102{,}5$$

Po dwóch latach na koncie będzie 1102,50 zł. Wzór ogólny $K_n = 1000 \cdot 1{,}05^{\,n}$ daje to samo: $K_2 = 1000 \cdot 1{,}05^2 = 1000 \cdot 1{,}1025 = 1102{,}5$. To pokazuje, że rozpoznanie ciągu geometrycznego w rekurencji od razu daje wygodny wzór ogólny, którym policzysz stan konta po dowolnej liczbie lat bez wypisywania wszystkich kroków.

Najczęstsze pytania o ciągi rekurencyjne

Czy z każdej rekurencji da się wyznaczyć wzór ogólny? W teorii często tak, ale na maturze podstawowej masz do czynienia tylko z trzema wygodnymi przypadkami: ciąg arytmetyczny (dodawanie stałej), ciąg geometryczny (mnożenie przez stałą) i sumowanie prostych przyrostów. Jeśli reguła jest bardziej skomplikowana, zadanie prawie zawsze prosi tylko o kilka pierwszych wyrazów.

Jak odróżnić ciąg arytmetyczny od geometrycznego w rekurencji? Patrz na operację: jeśli do poprzedniego wyrazu coś dodajesz, to kandydat na ciąg arytmetyczny; jeśli przez coś mnożysz, to kandydat na geometryczny. Potem sprawdzasz, czy ta dodawana lub mnożona liczba jest stała - jeśli zależy od $n$, żaden z tych dwóch typów nie wchodzi w grę.

Czy wyraz początkowy zawsze ma indeks 1? Nie. Czasem ciąg startuje od $a_0$ - na przykład w zadaniach z procentem składanym, gdzie $K_0$ to kapitał na starcie. Zawsze sprawdź w treści, od którego indeksu zaczyna się ciąg, bo to wpływa na to, jak zapiszesz wzór ogólny.

Typowe pułapki i błędy

Pierwsza pułapka to założenie, że każdy ciąg rekurencyjny jest arytmetyczny. Nieprawda - tylko wtedy, gdy do poprzedniego wyrazu dodajesz stałą liczbę. Jeśli dodajesz coś zależnego od $n$ (jak $2n$), różnica się zmienia i ciąg arytmetyczny nie jest. Druga pułapka to błędy w indeksach - reguła $a_{n+1} = a_n + r$ oznacza, że $a_2$ liczysz, podstawiając $n = 1$, a nie $n = 2$. Trzecia: przy zamianie rekurencji na wzór ogólny uczniowie piszą $a_n = a_1 + n \cdot r$ zamiast $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$ - to zgubienie jednej różnicy psuje cały wynik. Czwarta: mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym, czyli dodawanie tam, gdzie trzeba mnożyć.

Najlepsza obrona to zawsze policzyć trzy, cztery pierwsze wyrazy z reguły rekurencyjnej i porównać je z tym, co daje wyznaczony wzór ogólny. Jeśli się zgadzają, wzór jest prawie na pewno dobry. To ta sama zasada weryfikacji, o której piszemy w jak sprawdzać odpowiedzi na maturze.

Powiązane tematy warto powtórzyć razem

Rekurencja to brama do całego działu ciągów. Po niej naturalnie przychodzą: wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, ciąg geometryczny oraz suma ciągu. A jeśli chcesz na chwilę przełączyć się na geometrię, zerknij na nasz świeży wpis symetria w geometrii analitycznej - to drugi temat, który łatwo opanować, a daje pewne punkty.

Co musisz umieć - checklist

Najlepszy sposób, żeby to utrwalić, to rozwiązać kilkanaście zadań z prawdziwych arkuszy. Wejdź na stronę działu ciągi i ćwicz rekurencję, aż przestanie cię stresować. Dasz radę.