Skończony ciąg (a₁,a₂,a₃,a₄,a₅) jest geometryczny. Uzasadnij, że mając dany tylko wyraz środkowy a₃, można obliczyć iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że iloczyn wszystkich wyrazów jest równy a₃⁵
Rozważam ciąg geometryczny (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) o ilorazie q.
Krok 1: Wyrażenie wyrazów przez a₃ i q
Skoro a₃ jest wyrazem środkowym, można wyrazić pozostałe wyrazy: - a₂ = a₃/q - a₁ = a₃/q² - a₄ = a₃ · q - a₅ = a₃ · q²
Krok 2: Obliczenie iloczynu wszystkich wyrazów
P = a₁ · a₂ · a₃ · a₄ · a₅
Podstawia się wyrażenia z Kroku 1:
P = a₃/q² · a₃/q · a₃ · a₃ q · a₃ q²
Krok 3: Uproszczenie
Grupuję potęgi a₃ i q:
P = a₃⁵ · q² · q/(q² · q)
P = a₃⁵ · q³/q³
P = a₃⁵ · 1
P = a₃⁵
Wniosek:
Iloczyn wszystkich wyrazów pięcioelementowego ciągu geometrycznego wynosi a₃⁵, czyli piątą potęgę wyrazu środkowego. Widać, że iloraz q się redukuje, więc znając jedynie a₃, możemy obliczyć iloczyn wszystkich wyrazów jako a₃⁵.
Uzasadnienie ogólne: W ciągu geometrycznym wyrazy równoodległe od środka są parami symetryczne względem niego, tzn. a₁ · a₅ = a₃² oraz a₂ · a₄ = a₃², co także prowadzi do: P = a₃² · a₃² · a₃ = a₃⁵.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.