Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego - wzór, różnica, zadania matura

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to absolutny pewniak maturalny. CKE wsadza go w arkusz praktycznie zawsze: sierpień 2025, sierpień 2024, sierpień 2021, sierpień 2020, sierpień 2017, sierpień 2014, próbna styczeń 2014 i tak dalej. Zadanie jest zwykle zamknięte za 1 punkt, ale otwarte za 2-3 punkty też się trafia, na przykład "oblicz $x$, wiedząc że $2m-5$, $4$, $9$ jest ciągiem arytmetycznym". Wzór do zapamiętania jest jeden, a do rozwiązywania zadań potrzebujesz jeszcze trzech krótkich wniosków. W tym poradniku dostajesz teorię, gotowe podstawienia oraz 6 prawdziwych zadań CKE rozwiązanych krok po kroku.

Jeśli szukasz szerszego ujęcia, sprawdź nasz przegląd ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze - wzory i zadania. Tutaj zajmujemy się wyłącznie n-tym wyrazem ciągu arytmetycznego.

Czym jest ciąg arytmetyczny

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, jeżeli każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie tej samej liczby $r$ - nazywamy ją różnicą ciągu. Formalnie warunek wygląda tak:

$$a_{n+1} - a_n = r \quad \text{dla każdego } n \ge 1$$

Co to znaczy w praktyce? Wystarczy podać pierwszy wyraz $a_1$ i różnicę $r$, a cały ciąg jest zdeterminowany. Kilka prostych przykładów:

Monotonia ciągu arytmetycznego zależy tylko od znaku $r$. Jeśli $r > 0$, ciąg rośnie. Jeśli $r < 0$, maleje. Jeśli $r = 0$, jest stały. Nigdy nie jest naprzemienny ani "zygzakowaty".

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Główny wzór, który musisz mieć w głowie z palca w pamięć mięśniową:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$

To wszystko. Jeden wzór, dwie zmienne ($a_1$ i $r$) oraz numer wyrazu $n$. Wzór znajdziesz w karcie wzorów CKE, ale każdy maturzysta powinien go odtwarzać z głowy w sekundę.

Skąd się bierze? Wracamy do definicji ciągu arytmetycznego. Każdy kolejny wyraz to poprzedni plus $r$:

$$a_2 = a_1 + r$$
$$a_3 = a_2 + r = a_1 + 2r$$
$$a_4 = a_3 + r = a_1 + 3r$$
$$\vdots$$
$$a_n = a_1 + (n - 1) r$$

Mnożnik przy $r$ to dokładnie liczba "kroków" jakie zrobiliśmy od pierwszego wyrazu do $n$-tego. Z $a_1$ do $a_n$ jest $n - 1$ kroków, nie $n$.

Klasyczny błąd: zapisywanie wzoru jako $a_n = a_1 + n r$. To daje wynik przesunięty o jedno miejsce - dostajesz $a_{n+1}$ zamiast $a_n$. Pamiętaj: minus jeden zawsze, bez wyjątku. Sprawdzian: dla $n = 1$ musi wyjść $a_1$, więc czynnik przy $r$ musi się wyzerować. Z $(1-1) = 0$ zerowanie działa. Z $n = 1$ i mnożnikiem $n$ bez minus jeden zostawałoby $a_1 + r$, co byłoby drugim wyrazem.

Wyznaczanie różnicy r ze znanych wyrazów

W większości zadań CKE $r$ nie jest podane wprost - trzeba je wyliczyć z dwóch wyrazów. Najprostszy przypadek: znamy $a_1$ i $a_2$. Wtedy:

$$r = a_2 - a_1$$

Ogólniej: jeśli znasz dowolne dwa wyrazy $a_n$ i $a_m$ ($n \ne m$), to:

$$r = \frac{a_n - a_m}{n - m}$$

To bardzo wygodny wzór, bo działa dla dowolnej pary wyrazów. Wyprowadzenie zajmuje 20 sekund. Z głównego wzoru:

$$a_n = a_1 + (n - 1) r$$
$$a_m = a_1 + (m - 1) r$$

Odejmując stronami: $a_n - a_m = (n - m) r$, skąd $r = \frac{a_n - a_m}{n - m}$.

Mając $r$ wracasz do głównego wzoru i wyliczasz $a_1$ z dowolnego znanego wyrazu, na przykład:

$$a_1 = a_n - (n - 1) r$$

I masz pełne dane do dalszych obliczeń. Ta technika jest podstawą zadań typu "$a_5 = 22$, $a_{10} = 47$. Oblicz $a_1$" (matura sierpień 2014).

Warunek trzech kolejnych wyrazów

Drugi warunek, który CKE testuje w prawie każdym arkuszu (sierpień 2024, sierpień 2023, sierpień 2022, sierpień 2013, sierpień 2011 itd.): jeśli trzy liczby $(x, y, z)$ tworzą ciąg arytmetyczny w podanej kolejności, to środkowa jest średnią arytmetyczną skrajnych:

$$y = \frac{x + z}{2} \quad \text{czyli} \quad 2y = x + z$$

Wzór pochodzi prosto z definicji: $y - x = z - y$, bo obie strony to różnica $r$. Stąd $2y = x + z$.

W praktyce stosujesz to tak: jeśli treść mówi "trzywyrazowy ciąg $(2m - 5, 4, 9)$ jest arytmetyczny, oblicz $m$", piszesz:

$$2 \cdot 4 = (2m - 5) + 9$$ $$8 = 2m + 4$$ $$m = 2$$

Czterowyrazowy warunek wygląda analogicznie: każdy środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiednich. W praktyce wystarczy zastosować warunek z trzech wyrazów dwa razy.

Wszystkie wzory w jednej tabeli

Cały arsenał dla ciągu arytmetycznego, który wystarczy do zadań z n-tym wyrazem:

Ostatni wzór warto zapamiętać. Dostajesz w treści wartość wyrazu (na przykład $79$ z zadania sierpień 2017) i pytanie "dla jakiego $n$". Wystarczy wyliczyć $n$ z głównego wzoru, ale gotowa formuła to oszczędność jednej linijki.

Zadanie 1 - dla jakiego n wyraz wynosi 79 (matura sierpień 2017)

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o którym wiemy, że $a_1 = 2$ i $a_2 = 9$. Wtedy $a_n = 79$ dla:
A) $n = 11$ B) $n = 12$ C) $n = 13$ D) $n = 14$

Rozwiązanie. Różnica: $r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7$. Wzór na n-ty wyraz:

$$a_n = 2 + (n - 1) \cdot 7 = 7n - 5$$

Z warunku $a_n = 79$:

$$7n - 5 = 79$$ $$7n = 84$$ $$n = 12$$

Odpowiedź: B.

Standardowa praca: różnica z dwóch pierwszych wyrazów, podstawienie do wzoru, rozwiązanie równania liniowego. Cała robota w pół minuty.

Zadanie 2 - n-ty wyraz przy różnicy -4 (matura sierpień 2025)

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Różnica tego ciągu jest równa $-4$ oraz $a_3 = 11$. Oblicz $a_1$ i $a_{20}$.

Rozwiązanie. Z głównego wzoru: $a_3 = a_1 + 2r$. Podstawiamy:

$$11 = a_1 + 2 \cdot (-4)$$ $$11 = a_1 - 8$$ $$a_1 = 19$$

Teraz $a_{20}$:

$$a_{20} = a_1 + 19 \cdot r = 19 + 19 \cdot (-4) = 19 - 76 = -57$$

Odpowiedź: $a_1 = 19$, $a_{20} = -57$.

Uwaga na znak: ujemna różnica oznacza, że ciąg maleje. Po dwudziestu krokach od $a_1 = 19$ z różnicą $-4$ jest zupełnie naturalne, że wyraz jest mocno ujemny. Jeśli wyjdzie ci wynik dodatni i bardzo duży, prawdopodobnie pomyliłeś znak $r$.

Pełny arkusz tego egzaminu omawiamy w poście matura sierpień 2025 - rozwiązania.

Zadanie 3 - którego wyrazu nie ma w ciągu (matura sierpień 2021)

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Różnica tego ciągu jest równa $2$, a $a_1 = 3$. Wtedy $a_5$ jest równe...

Rozwiązanie. Główny wzór dla $n = 5$:

$$a_5 = a_1 + 4r = 3 + 4 \cdot 2 = 11$$

Odpowiedź: $11$.

Zauważ klasyczny sposób sprawdzenia. Wypisujemy kilka pierwszych wyrazów: $3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots$. Piąty to faktycznie $11$. Zawsze warto wypisać dwa-trzy pierwsze wyrazy, jeśli nie jesteś pewny mnożnika $n - 1$.

Zadanie 4 - z dwóch dowolnych wyrazów (matura sierpień 2014)

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla $n \ge 1$, w którym $a_5 = 22$ oraz $a_{10} = 47$. Oblicz pierwszy wyraz $a_1$.

Rozwiązanie. Najpierw różnica. Korzystamy ze wzoru $r = \frac{a_{10} - a_5}{10 - 5}$:

$$r = \frac{47 - 22}{5} = \frac{25}{5} = 5$$

Teraz $a_1$ z głównego wzoru, podstawiając $a_5 = 22$ i $n = 5$:

$$22 = a_1 + 4 \cdot 5$$ $$22 = a_1 + 20$$ $$a_1 = 2$$

Odpowiedź: $a_1 = 2$.

Sprawdzenie: ciąg to $2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, \ldots$. Piąty wyraz $22$, dziesiąty $47$. Zgadza się.

Zadanie 5 - trzywyrazowy ciąg z parametrem (matura sierpień 2024)

Trzywyrazowy ciąg $(2m - 5, 4, 9)$ jest arytmetyczny. Wyznacz wartość $m$ oraz różnicę tego ciągu.

Rozwiązanie. Warunek trzech kolejnych wyrazów: $2 \cdot 4 = (2m - 5) + 9$. Stąd:

$$8 = 2m + 4$$ $$2m = 4$$ $$m = 2$$

Sprawdźmy, jakie to wyrazy: $2m - 5 = 2 \cdot 2 - 5 = -1$. Czyli ciąg to $(-1, 4, 9)$. Różnica:

$$r = 4 - (-1) = 5$$

Sprawdzenie: $9 - 4 = 5$. Faktycznie różnica jest stała. Odpowiedź: $m = 2$, $r = 5$.

Zadanie 6 - klasyk "liczby 7, a, 49" (matura sierpień 2013)

Liczby $7, a, 49$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy $a$ jest równe...

Rozwiązanie. Warunek trzech kolejnych wyrazów daje:

$$a = \frac{7 + 49}{2} = \frac{56}{2} = 28$$

Odpowiedź: $28$.

Pułapka: ten sam zestaw liczb tworzy ciąg geometryczny dla $a = \sqrt{7 \cdot 49} = 7\sqrt{7}$, bo dla ciągu geometrycznego środkowy wyraz to średnia geometryczna skrajnych. CKE czasem wstawia oba w tym samym arkuszu i sprawdza, czy umiesz odróżnić. Średnia arytmetyczna dla ciągu arytmetycznego, średnia geometryczna dla ciągu geometrycznego. Łatwo zapamiętać po nazwie.

Najczęstsze pułapki

Pierwsza pułapka i absolutny lider statystyk: pisanie wzoru $a_n = a_1 + n \cdot r$ zamiast $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$. To znaczy, że twój wynik jest przesunięty o jedno miejsce w prawo. Zawsze podstaw $n = 1$ na kontrolę: musi wyjść $a_1$, więc czynnik przy $r$ powinien być zerem. Z $(1 - 1) = 0$ dostajesz $0$. Z $1 \cdot r = r$ dostajesz $a_1 + r = a_2$. Jeśli twój wzór daje $a_2$ dla $n = 1$, poprawiaj minus jeden.

Druga pułapka: mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym. Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę między sąsiadami. Ciąg geometryczny ma stały iloraz. W zadaniu o trzech kolejnych liczbach średnia arytmetyczna sprawdza arytmetyczność, średnia geometryczna sprawdza geometryczność. Jeśli treść mówi "ciąg arytmetyczny", używasz $2y = x + z$. Po więcej wglądu w obie struktury zobacz nasz post ciągi na maturze - suma ciągu, monotoniczność, zadania otwarte.

Trzecia pułapka: zapominanie o znaku $r$. Ciąg malejący ma ujemną różnicę. W zadaniach typu "oblicz $a_{20}$ w ciągu malejącym" odpowiedź często jest bardzo ujemna. Sprawdzaj kontekst: jeśli pierwszy wyraz jest dodatni i odpowiedzi są typu $-57$ (jak w zadaniu 2 powyżej), wszystko gra z malejącym ciągiem.

Czwarta pułapka: mylenie wzoru na $a_n$ ze wzorem na sumę $S_n$. $a_n$ to wartość konkretnego wyrazu. $S_n$ to suma $n$ początkowych wyrazów. Dwa zupełnie różne wzory, choć oba mają w środku $n$ i $r$. Po szczegóły zerknij do osobnego poradnika jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

Piąta pułapka: rozwiązywanie układu dwóch równań "na siłę", kiedy wystarczy jeden szybki wzór. Jeśli masz $a_n$ i $a_m$, używaj gotowego wzoru $r = \frac{a_n - a_m}{n - m}$. Nie buduj układu z dwoma niewiadomymi $a_1$ i $r$ - to o jedno równanie więcej niż trzeba.

Sprytne skróty

Kilka tricków, które przyspieszają rozwiązywanie:

Trening na koniec - zestaw zadań

Pełny trening na ciągach arytmetycznych ze znalezionym $r$ i $a_n$:

Wszystkie zadania z ciągów masz na stronie tematu Ciągi. Dla pełniejszej powtórki polecam najtrudniejsze zadania maturalne z matematyki - ranking, gdzie omawiamy też zadania kombinujące ciąg arytmetyczny z geometrycznym.

Checklist - co musisz umieć przed maturą

Ciąg arytmetyczny opanowany, jeśli potrafisz bez wahania:

Wzór jeden, technik kilka, a punktów z każdego arkusza CKE - przynajmniej jeden, czasem trzy. Tu nie ma drogi okrężnej. Naucz się tego raz, a wracaj do tego tylko po to, żeby przed maturą sprawdzić, czy nadal pamiętasz minus jeden przy $r$.