W stożku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy 3/2. Oblicz sinus kąta między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: √(5)/3
Oznaczmy: - r - promień podstawy stożka - l - długość tworzącej - h - wysokość stożka - α - kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy
## Krok 1: Zapisanie pól powierzchni
Pole podstawy stożka: P_(podst) = πr²
Pole powierzchni bocznej stożka: P_(bocz) = πr l
## Krok 2: Wykorzystanie danego stosunku
Z treści zadania: P_(bocz)/P_(podst) = 3/2
Podstawiamy wzory: πr l/(πr²) = 3/2
Upraszczamy: l/r = 3/2
Stąd: l = 3r/2
## Krok 3: Znalezienie wysokości z twierdzenia Pitagorasa
W przekroju osiowym stożka otrzymujemy trójkąt prostokątny, gdzie: - przyprostokątne to r i h - przeciwprostokątna to l
Z twierdzenia Pitagorasa: h² + r² = l²
Podstawiamy l = 3r/2: h² + r² = (3r/2)²
h² + r² = 9r²/4
h² = 9r²/4 - r² = (9r² - 4r²)/4 = 5r²/4
h = r√(5)/2
## Krok 4: Obliczenie sinusa kąta
Kąt α między tworzącą a podstawą to kąt w trójkącie prostokątnym, gdzie: - przeciwprostokątna: l = 3r/2 - przyprostokątna naprzeciwko α: h = r√(5)/2
Zatem: sin α= h/l = r√(5)/2/(3r/2) = r√(5)/2 · 2/(3r) = √(5)/3
Odpowiedź: sin α= √(5)/3
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.