Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - podwojony kąt i zadania z matury rozszerzonej

Sinus sumy kątów to $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, a cosinus sumy to $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$. Dla różnicy kątów zmieniasz znak w środku: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ i $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. Z tych czterech wzorów wynikają wzory na podwojony kąt, $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ i $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, oraz wzory zamieniające sumę sinusów na iloczyn. To zakres matury rozszerzonej: na podstawie ich nie ma, a na rozszerzeniu wracają w prawie każdym równaniu trygonometrycznym za 4 punkty.

W arkuszach rozszerzonych te wzory rzadko występują jako osobne pytanie. Częściej są narzędziem: zadanie każe rozwiązać równanie z $\sin(x - \frac{\pi}{4})$, obliczyć $\cos^2 105^\circ - \sin^2 105^\circ$ albo udowodnić nierówność z iloczynem sinusa i cosinusa, a cała trudność polega na tym, żeby rozpoznać, który wzór rozbija wyrażenie na coś, co już umiesz. W tym wpisie porządkujemy cztery wzory bazowe, wyprowadzamy z nich resztę i rozwiązujemy krok po kroku sześć zadań z arkuszy CKE, od jednopunktowych po pięciopunktowe.

Cztery wzory bazowe i jak je zapamiętać

Sinus sumy i różnicy ma w środku iloczyny mieszane, sinus razy cosinus, a znak między nimi jest taki sam jak znak w nawiasie. Cosinus sumy i różnicy ma iloczyny jednorodne, cosinus razy cosinus i sinus razy sinus, a znak między nimi jest przeciwny do znaku w nawiasie. Ta jedna obserwacja zastępuje wkuwanie czterech wzorów na pamięć.

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

Znak $\mp$ w drugim wzorze czytasz "na odwrót": dla sumy jest minus, dla różnicy plus. Sprawdź to na kącie zerowym: $\cos(\alpha - \alpha) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, czyli dokładnie jedynka trygonometryczna, a $\cos 0 = 1$ się zgadza. Gdybyś pomylił znak, dostałbyś $\cos 2\alpha$ zamiast jedynki.

Wzory działają dla dowolnych kątów, także ujemnych i większych od $180^\circ$, więc nie musisz wcześniej sprowadzać kąta do pierwszej ćwiartki. To odróżnia je od wzorów redukcyjnych, które są ich szczególnym przypadkiem: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin 180^\circ \cos\alpha - \cos 180^\circ \sin\alpha = 0 \cdot \cos\alpha - (-1)\sin\alpha = \sin\alpha$.

Podwojony kąt

Wzory na podwojony kąt to wzory na sumę z $\beta = \alpha$. Sinus daje jeden wzór, cosinus daje trzy postacie tego samego wzoru i na maturze potrzebujesz wszystkich trzech.

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

Drugą i trzecią postać dostajesz z pierwszej, podstawiając za $\sin^2\alpha$ albo za $\cos^2\alpha$ z jedynki trygonometrycznej. Którą wybrać w zadaniu? Tę, która zostawia w równaniu jedną funkcję. Jeśli obok $\cos 2x$ stoi $\cos x$, bierzesz $2\cos^2 x - 1$; jeśli stoi $\sin x$, bierzesz $1 - 2\sin^2 x$. Po podstawieniu masz równanie kwadratowe z niewiadomą $\cos x$ albo $\sin x$ i dalej liczysz jak na podstawie, według metod z wpisu o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

Wzór na $\sin 2\alpha$ czytaj też w drugą stronę: iloczyn $\sin x \cos x$ to $\frac{1}{2}\sin 2x$. W ten sposób znika połowa trudności w zadaniach z iloczynem sinusa i cosinusa tego samego argumentu.

Suma sinusów zamieniona na iloczyn

Równanie w rodzaju $\sin x + \sin 3x = 0$ nie rozłoży się na czynniki bez wzoru zamieniającego sumę na iloczyn:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

Wszystkie cztery wynikają z dodania albo odjęcia stronami wzorów na sumę i różnicę kątów. Na przykład $\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2\sin a\cos b$; podstawiasz $a + b = \alpha$, $a - b = \beta$, czyli $a = \frac{\alpha + \beta}{2}$ i $b = \frac{\alpha - \beta}{2}$, i masz pierwszy wzór. Ta sama sztuczka czytana od prawej do lewej zamienia iloczyn na sumę, co przydaje się w dowodach nierówności.

Wartości sinusa i cosinusa dla $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$, które podstawiasz do tych wzorów, masz w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, a ich pełny zestaw na obu poziomach w zbiorze wzorów trygonometrycznych.

Wzory

Typowe pułapki i błędy

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy rozszerzonych CKE, w których wzory na podwojony kąt i sumę kątów są kluczem do rozwiązania. Każde otwiera się na własnej stronie, a cały dział przejrzysz na stronie trygonometrii i w zbiorze zadań CKE z trygonometrii. Pełną listę działów rozszerzenia z liczbą zadań w każdym znajdziesz we wpisie o wymaganiach matury rozszerzonej.

• Matura rozszerzona maj 2021Zadanie 11 pkt
  Różnica $\cos^2 165^\circ - \sin^2 165^\circ$ jest równa
• Matura rozszerzona czerwiec 2016Zadanie 21 pkt
  Wartość wyrażenia $\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ$ jest równa
• Matura rozszerzona czerwiec 2015Zadanie 41 pkt
  Dla dowolnego kąta $\alpha$ wartość wyrażenia $\sin\alpha + \sin\left(180^\circ - \alpha\right)$ jest równa wartości wyrażenia
• Matura rozszerzona maj 2012Zadanie 34 pkt
  Rozwiąż równanie $\cos 2x + 2 = 3\cos x$.
• Matura rozszerzona maj 2013Zadanie 44 pkt
  Rozwiąż równanie $\cos 2x + \cos x + 1 = 0$ dla $x \in \langle 0, 2\pi \rangle$.
• Matura rozszerzona maj 2017Zadanie 104 pkt
  Rozwiąż równanie $\cos 2x + 3\cos x = -2$ w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$.

Następny krok Losuj kolejne zadanie z trygonometrii

Najczęstsze pytania o wzory na sinus i cosinus sumy kątów