Przejdź do treści

Wzory na podwojony kąt - sin 2x, cos 2x i tg 2x z zadaniami

Komplet wzorów na podwojony kąt z wyprowadzeniem z sumy kątów, regułą wyboru właściwej postaci cosinusa oraz dziewięcioma rozwiązanymi przykładami w stylu maturalnym.

Czas czytania: 9 min czytania
Opublikowano: Zaktualizowano:

Spis treści

Wzory na podwojony kąt zamieniają funkcję kąta 2α2\alpha na funkcje kąta α\alpha: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha oraz tg⁡2α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}. Cosinus podwojonego kąta ma dodatkowo dwie równoważne postacie: cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 oraz cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha. To właśnie te dwie ratują większość zadań, bo zostawiają w wyrażeniu tylko jedną funkcję trygonometryczną zamiast dwóch.

Niżej znajdziesz wyprowadzenie tych wzorów z sinusa i cosinusa sumy kątów, prostą regułę wyboru właściwej postaci cosinusa, dziewięć rozwiązanych przykładów w stylu maturalnym oraz listę pułapek, na których najczęściej lecą punkty.

Wzory na podwojony kąt - komplet w jednym miejscu

Zapamiętaj trzy wzory główne. Wszystkie działają dla dowolnego kąta α\alpha, nie tylko ostrego.

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha tg⁡2α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}

Do kompletu dochodzą dwa wzory pochodne, zwane wzorami na obniżenie stopnia. Wyprowadza się je z cosinusa podwojonego kąta i przydają się wszędzie tam, gdzie chcesz pozbyć się kwadratu:

sin⁡2α=1−cos⁡2α2cos⁡2α=1+cos⁡2α2\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}

Wzory na podwojony kąt działają też w drugą stronę. Jeśli w zadaniu widzisz 2sin⁡αcos⁡α2\sin\alpha\cos\alpha, to jest sin⁡2α\sin 2\alpha, i często właśnie ten kierunek skraca rachunki o połowę.

Skąd biorą się wzory na podwojony kąt

Wzory na podwojony kąt to zwykłe wzory na sinus i cosinus sumy kątów, w których zamiast β\beta wstawisz α\alpha. Nie musisz ich kuć osobno: jeśli pamiętasz sumę kątów, wyprowadzisz podwojony kąt w piętnaście sekund na brudnopisie. To najtańszy sposób, żeby nie zgubić wzoru pod presją czasu.

Startujesz od dwóch tożsamości:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

Podstawiasz β=α\beta = \alpha, bo 2α=α+α2\alpha = \alpha + \alpha:

sin⁡2α=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha cos⁡2α=cos⁡αcos⁡α−sin⁡αsin⁡α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha

Dwie pozostałe postacie cosinusa dostajesz z jedynki trygonometrycznej, czyli z zależności sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1:

  • •za sin⁡2α\sin^2\alpha wstawiasz 1−cos⁡2α1 - \cos^2\alpha i wychodzi cos⁡2α=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1,
  • •za cos⁡2α\cos^2\alpha wstawiasz 1−sin⁡2α1 - \sin^2\alpha i wychodzi cos⁡2α=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha.

Tangens podwojonego kąta wyprowadzisz identycznie ze wzoru na tangens sumy albo dzieląc sin⁡2α\sin 2\alpha przez cos⁡2α\cos 2\alpha i skracając przez cos⁡2α\cos^2\alpha.

Którą postać cosinusa podwojonego kąta wybrać

Wybieraj tę postać, która zostawi w wyrażeniu tylko funkcję, którą znasz z treści zadania. To jedna decyzja, która najczęściej odróżnia rozwiązanie na trzy linijki od rozwiązania na pół strony. Reguła jest banalna:

  • •Znasz sin⁡α\sin\alpha: użyj cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha.
  • •Znasz cos⁡α\cos\alpha: użyj cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1.
  • •Znasz obie funkcje albo dowodzisz tożsamości: zostań przy cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha, bo jest najbardziej symetryczna.
  • •W mianowniku masz 1+cos⁡2α1 + \cos 2\alpha: wstaw 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1, bo jedynki się skrócą.
  • •W mianowniku masz 1−cos⁡2α1 - \cos 2\alpha: wstaw 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha, z tego samego powodu.

Przykład 1: sinus i cosinus podwojonego kąta z danego sinusa

0/7
Trygonometria

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}. Oblicz sin⁡2α\sin 2\alpha oraz cos⁡2α\cos 2\alpha.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    wyznacz brakującą funkcję z jedynki trygonometrycznej

    Z sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 mamy cos⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}, więc cos⁡α=45\cos\alpha = \frac{4}{5}. Bierzemy wartość dodatnią, bo kąt jest ostry.

  2. Krok 2

    podstaw do wzoru na sinus podwojonego kąta

    sin⁡2α=2⋅35⋅45=2425\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}
  3. Krok 3

    wybierz wygodną postać cosinusa

    Znasz sin⁡α\sin\alpha, więc bierzesz 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha:

    cos⁡2α=1−2⋅925=1−1825=725\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}
  4. Krok 4

    sprawdź wynik jedynką dla kąta 2α2\alpha

    (2425)2+(725)2=576+49625=1\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = \frac{576 + 49}{625} = 1. Zgadza się, więc rachunki są dobre. Ten test zajmuje dziesięć sekund i wyłapuje większość błędów rachunkowych.

Przykład 2: podwojony kąt, gdy kąt jest rozwarty

0/7
Trygonometria

Dany jest kąt α\alpha taki, że sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} oraz 90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ. Oblicz sin⁡2α\sin 2\alpha i cos⁡2α\cos 2\alpha. Dokładnie z takim zestawem danych mierzy się zadanie z arkusza CKE 2025 na poziomie podstawowym, więc warto ten schemat mieć w palcach.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    wyznacz cosinus i zdecyduj o znaku

    cos⁡2α=1−1625=925\cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}, więc cos⁡α=−35\cos\alpha = -\frac{3}{5}. Minus, bo w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny. Znaki w poszczególnych ćwiartkach przypomnisz sobie przy okazji wzorów redukcyjnych.

  2. Krok 2

    policz sinus podwojonego kąta

    sin⁡2α=2⋅45⋅(−35)=−2425\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}
  3. Krok 3

    policz cosinus podwojonego kąta

    Znasz sin⁡α\sin\alpha, więc znowu 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha:

    cos⁡2α=1−2⋅1625=−725\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}
  4. Krok 4

    sprawdź sensowność znaków

    Skoro 90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ, to 180∘<2α<360∘180^\circ < 2\alpha < 360^\circ, czyli kąt 2α2\alpha leży w trzeciej albo czwartej ćwiartce. Tam sinus jest ujemny i faktycznie sin⁡2α<0\sin 2\alpha < 0. Ta kontrola znaku to najprostszy sposób, żeby złapać zgubiony minus.

Przykład 3: upraszczanie wyrażenia z podwojonym kątem

0/7
Trygonometria

Uprość wyrażenie sin⁡2α1+cos⁡2α\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    rozpisz licznik

    sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.

  2. Krok 2

    dobierz postać cosinusa pod mianownik

    W mianowniku stoi 1+cos⁡2α1 + \cos 2\alpha, więc bierzesz cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 i jedynki się kasują: 1+2cos⁡2α−1=2cos⁡2α1 + 2\cos^2\alpha - 1 = 2\cos^2\alpha.

  3. Krok 3

    skróć ułamek

    2sin⁡αcos⁡α2cos⁡2α=sin⁡αcos⁡α=tg⁡α\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha
  4. Krok 4

    dopisz założenia

    Wyrażenie ma sens tylko wtedy, gdy cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0, czyli α≠90∘+k⋅180∘\alpha \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ. Na maturze za brak założeń w zadaniu otwartym potrafi polecieć punkt, a to jedna linijka pracy.

Przykład 4: równanie sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x = \sin x

0/7
Trygonometria

Rozwiąż równanie sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x = \sin x w przedziale ⟨0∘,360∘)\langle 0^\circ, 360^\circ).

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    pozbądź się podwojonego kąta

    2sin⁡xcos⁡x=sin⁡x2\sin x\cos x = \sin x.

  2. Krok 2

    przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz wspólny czynnik

    sin⁡x(2cos⁡x−1)=0\sin x(2\cos x - 1) = 0

    Nie dziel obu stron przez sin⁡x\sin x. To najczęstszy błąd w tym typie zadania i kosztuje dwa rozwiązania.

  3. Krok 3

    rozbij na dwa proste równania

    Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: sin⁡x=0\sin x = 0 albo cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2}.

  4. Krok 4

    odczytaj rozwiązania z przedziału

    sin⁡x=0\sin x = 0 daje x=0∘x = 0^\circ i x=180∘x = 180^\circ. cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} daje x=60∘x = 60^\circ i x=300∘x = 300^\circ. Ostatecznie x∈{0∘,60∘,180∘,300∘}x \in \{0^\circ, 60^\circ, 180^\circ, 300^\circ\}. Więcej schematów tego typu znajdziesz w poradniku o tym, jak rozwiązywać równania trygonometryczne.

Przykład 5: równanie cos⁡2x+cos⁡x=0\cos 2x + \cos x = 0

0/7
Trygonometria

Rozwiąż równanie cos⁡2x+cos⁡x=0\cos 2x + \cos x = 0 w przedziale ⟨0∘,360∘)\langle 0^\circ, 360^\circ).

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    sprowadź wszystko do jednej funkcji

    W równaniu jest cos⁡x\cos x, więc wybierasz postać cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1:

    2cos⁡2x−1+cos⁡x=02\cos^2 x - 1 + \cos x = 0
  2. Krok 2

    podstaw t=cos⁡xt = \cos x, gdzie t∈⟨−1,1⟩t \in \langle -1, 1\rangle

    Dostajesz zwykłe równanie kwadratowe 2t2+t−1=02t^2 + t - 1 = 0.

  3. Krok 3

    policz deltę i pierwiastki

    Δ=12−4⋅2⋅(−1)=9\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9, Δ=3\sqrt{\Delta} = 3, więc t1=−1−34=−1t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1 oraz t2=−1+34=12t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}. Oba mieszczą się w przedziale ⟨−1,1⟩\langle -1, 1\rangle, więc oba zostają.

  4. Krok 4

    wróć do zmiennej xx

    cos⁡x=−1\cos x = -1 daje x=180∘x = 180^\circ, a cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} daje x=60∘x = 60^\circ i x=300∘x = 300^\circ. Odpowiedź: x∈{60∘,180∘,300∘}x \in \{60^\circ, 180^\circ, 300^\circ\}.

Przykład 6: tangens podwojonego kąta

0/7
Trygonometria

Wiedząc, że tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = 2, oblicz tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    zapisz wzór

    tg⁡2α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}.

  2. Krok 2

    sprawdź, czy mianownik nie znika

    tg⁡2α=4≠1\operatorname{tg}^2\alpha = 4 \neq 1, więc wzoru można użyć.

  3. Krok 3

    podstaw dane

    tg⁡2α=2⋅21−4=4−3=−43\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \cdot 2}{1 - 4} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}
  4. Krok 4

    zinterpretuj wynik

    Ujemny tangens oznacza, że kąt 2α2\alpha leży w drugiej albo czwartej ćwiartce. Skoro tg⁡α=2>1\operatorname{tg}\alpha = 2 > 1, to α\alpha jest większy od 45∘45^\circ, więc 2α2\alpha przekracza 90∘90^\circ. Wszystko się zgadza.

Przykład 7: dowód tożsamości cos⁡4α−sin⁡4α=cos⁡2α\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha

0/7
Trygonometria

Wykaż, że dla każdego kąta α\alpha zachodzi cos⁡4α−sin⁡4α=cos⁡2α\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    rozpoznaj różnicę kwadratów

    cos⁡4α−sin⁡4α=(cos⁡2α)2−(sin⁡2α)2\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2, a to jest a2−b2a^2 - b^2 z wzorów skróconego mnożenia.

  2. Krok 2

    rozłóż na czynniki

    (cos⁡2α−sin⁡2α)(cos⁡2α+sin⁡2α)(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)
  3. Krok 3

    skorzystaj z jedynki trygonometrycznej

    Drugi nawias to dokładnie sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, więc znika z iloczynu.

  4. Krok 4

    rozpoznaj wzór na podwojony kąt

    Zostaje cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2\alpha - \sin^2\alpha, czyli z definicji cos⁡2α\cos 2\alpha. Tożsamość udowodniona. Zasady zapisu takich dowodów opisaliśmy szerzej w tekście o tym, jak pisać dowody matematyczne na maturze.

Gdzie podwojony kąt realnie pojawia się w zadaniach

Poza gołym liczeniem sin⁡2α\sin 2\alpha wzory na podwojony kąt wchodzą do gry w trzech miejscach: przy szukaniu największej lub najmniejszej wartości wyrażenia, przy obliczaniu wartości funkcji dla kątów spoza tabeli oraz przy upraszczaniu wyrażeń z kwadratami sinusa i cosinusa. W każdym z tych przypadków chodzi o to samo: zamienić dwie funkcje na jedną, bo jedną funkcję łatwiej ograniczyć i łatwiej rozwiązać.

Przykład 8: największa wartość wyrażenia sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x

0/2
Trygonometria

Wyznacz najmniejszą i największą wartość wyrażenia sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    rozpoznaj wzór czytany od prawej do lewej

    sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x, więc sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.

  2. Krok 2

    skorzystaj ze znanego zakresu sinusa

    Dla każdego kąta zachodzi −1⩽sin⁡2x⩽1-1 \leqslant \sin 2x \leqslant 1.

  3. Krok 3

    przemnóż nierówność przez 12\frac{1}{2}

    −12⩽12sin⁡2x⩽12-\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2}\sin 2x \leqslant \frac{1}{2}
  4. Krok 4

    wskaż, kiedy wartości są osiągane

    Największa wartość to 12\frac{1}{2} dla sin⁡2x=1\sin 2x = 1, czyli x=45∘+k⋅180∘x = 45^\circ + k \cdot 180^\circ, a najmniejsza to −12-\frac{1}{2} dla x=135∘+k⋅180∘x = 135^\circ + k \cdot 180^\circ. Bez zamiany na sin⁡2x\sin 2x trzeba by badać dwie funkcje naraz, co przy tym zadaniu zwykle kończy się zgadywaniem. Sam wykres i okres funkcji sinus powtórzysz w tekście o wykresie sinusa i cosinusa.

Przykład 9: wartość sin⁡15∘\sin 15^\circ ze wzoru na obniżenie stopnia

0/2
Trygonometria

Oblicz dokładną wartość sin⁡15∘\sin 15^\circ, nie korzystając z kalkulatora.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    powiąż kąt z kątem znanym z tabeli

    Podwojony kąt 15∘15^\circ to 30∘30^\circ, a cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} znasz z pamięci.

  2. Krok 2

    wybierz postać cosinusa z sinusem

    Ze wzoru cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha dla α=15∘\alpha = 15^\circ dostajesz 32=1−2sin⁡215∘\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sin^2 15^\circ.

  3. Krok 3

    wyznacz kwadrat sinusa

    sin⁡215∘=1−322=2−34\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}
  4. Krok 4

    wyciągnij pierwiastek i wybierz znak

    Kąt 15∘15^\circ jest ostry, więc sinus jest dodatni i sin⁡15∘=2−32\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, co po usunięciu pierwiastka wewnętrznego daje znaną postać 6−24≈0,259\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}259. Ten sam schemat, czyli wzór na podwojony kąt czytany od kąta większego do mniejszego, nazywa się wzorem na połowę kąta.

Typowe pułapki przy wzorach na podwojony kąt

sin⁡2α\sin 2\alpha to nie jest 2sin⁡α2\sin\alpha. Sprawdź na liczbach: sin⁡60∘=32≈0,87\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87, a 2sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = 1. Różne wyniki, więc skracanie w ten sposób jest po prostu błędem. Ta sama uwaga dotyczy cosinusa i tangensa.

Dzielenie równania przez funkcję trygonometryczną gubi rozwiązania. W przykładzie 4 podzielenie przez sin⁡x\sin x wycina x=0∘x = 0^\circ i x=180∘x = 180^\circ. Zawsze wyłączaj wspólny czynnik przed nawias zamiast dzielić.

Mylenie 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1 z 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha. Kolejność jest inna, bo cosinus wchodzi z plusem, a sinus z minusem. Jeśli masz wątpliwość, sprawdź wzór dla α=0∘\alpha = 0^\circ: powinno wyjść cos⁡0∘=1\cos 0^\circ = 1.

Zapominanie o ćwiartce przy wyznaczaniu drugiej funkcji. Z jedynki dostajesz kwadrat, a pierwiastek ma dwa znaki. O znaku decyduje położenie kąta, nie rachunek.

Wzór na tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha nie zawsze istnieje. Mianownik zeruje się, gdy tg⁡2α=1\operatorname{tg}^2\alpha = 1, czyli dla α=45∘+k⋅90∘\alpha = 45^\circ + k \cdot 90^\circ. Potrzebny jest też sam tg⁡α\operatorname{tg}\alpha, więc cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0.

Czy wzory na podwojony kąt są potrzebne na maturze podstawowej

Na poziomie podstawowym wzory na podwojony kąt nie są ci potrzebne, a na rozszerzeniu są standardowym narzędziem. Sprawdziliśmy to na własnej bazie zadań: wśród 127 zadań z trygonometrii pochodzących z arkuszy podstawowych CKE nie ma ani jednego, którego rozwiązanie wymagałoby sin⁡2α\sin 2\alpha czy cos⁡2α\cos 2\alpha. Zadania podstawowe operują jedynką trygonometryczną, wartościami kątów charakterystycznych oraz twierdzeniami sinusów i cosinusów.

Ta sama logika działa przy karcie wzorów. W części trygonometrycznej karty dla poziomu podstawowego znajdziesz jedynkę, definicję tangensa, tabelę wartości dla 30∘30^\circ, 45∘45^\circ i 60∘60^\circ oraz twierdzenia sinusów i cosinusów. Zanim wejdziesz na salę, otwórz aktualną kartę wzorów CKE dla swojego poziomu i sprawdź, które wzory masz podane, a które musisz umieć wyprowadzić. Jeśli zdajesz rozszerzenie, zajrzyj też do zestawienia wymagań matury rozszerzonej z matematyki, gdzie podwojony kąt pojawia się przy tożsamościach i równaniach.

Jeżeli dopiero układasz powtórkę z tego działu, zacznij od zadań z trygonometrii z rozwiązaniami, a potem przećwicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów charakterystycznych. Bez płynnego liczenia sin⁡30∘\sin 30^\circ czy cos⁡45∘\cos 45^\circ wzory na podwojony kąt niewiele dadzą.

Najczęstsze pytania

Czy sin⁡2α\sin 2\alpha to to samo co 2sin⁡α2\sin\alpha?

Nie. Funkcje trygonometryczne nie są liniowe, więc mnożnika nie da się wyciągnąć przed sinus. Poprawny wzór to sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, czyli w wyniku pojawia się dodatkowo cosinus. Najszybszy kontrprzykład: dla α=30∘\alpha = 30^\circ lewa strona wynosi 32\frac{\sqrt{3}}{2}, a prawa 11.

Którą z trzech postaci cosinusa podwojonego kąta wybrać w zadaniu?

Tę, która zostawi tylko funkcję znaną z treści. Gdy dany jest sinus, bierz 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha, gdy cosinus, bierz 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1, a przy dowodzie tożsamości najwygodniejsza jest postać symetryczna cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2\alpha - \sin^2\alpha.

Czy wzory na podwojony kąt obowiązują na maturze podstawowej?

Nie są tam wymagane. W bazie 127 zadań z trygonometrii z arkuszy podstawowych żadne nie potrzebuje tych wzorów, a karta wzorów dla podstawy zawiera w tej części jedynkę, tabelę wartości oraz twierdzenia sinusów i cosinusów. To materiał poziomu rozszerzonego.

Jak z cos⁡2α\cos 2\alpha wrócić do sin⁡2α\sin^2\alpha albo cos⁡2α\cos^2\alpha?

Użyj wzorów na obniżenie stopnia: sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} oraz cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}. Wyprowadzisz je w jednej linijce, przekształcając cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha i cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1.

Kiedy wzór na tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha nie działa?

Wtedy, gdy mianownik 1−tg⁡2α1 - \operatorname{tg}^2\alpha jest zerem, czyli dla α=45∘+k⋅90∘\alpha = 45^\circ + k \cdot 90^\circ. Dodatkowo musi istnieć sam tg⁡α\operatorname{tg}\alpha, więc cos⁡α\cos\alpha nie może być zerem. W takich przypadkach licz osobno sin⁡2α\sin 2\alpha i cos⁡2α\cos 2\alpha, a potem podziel jedno przez drugie.

Czy te wzory działają dla kątów ujemnych i większych niż 360∘360^\circ?

Tak. To tożsamości prawdziwe dla każdego kąta rzeczywistego, więc możesz ich używać zarówno dla −40∘-40^\circ, jak i dla 700∘700^\circ. Zmienia się tylko znak wyniku, zależny od ćwiartki, w której leży kąt.

Jak szybko sprawdzić, czy dobrze policzyłem sin⁡2α\sin 2\alpha i cos⁡2α\cos 2\alpha?

Podstaw wyniki do jedynki trygonometrycznej zapisanej dla kąta 2α2\alpha, czyli sprawdź, czy sin⁡22α+cos⁡22α=1\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1. Jeśli suma nie wychodzi 11, gdzieś jest błąd rachunkowy albo zgubiony znak.

Czy istnieje wzór na potrojony kąt?

Tak: sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha oraz cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha. Na maturze nie są wymagane i pojawiają się rzadko, ale wyprowadzisz je, zapisując 3α=2α+α3\alpha = 2\alpha + \alpha i łącząc wzór na sumę kątów ze wzorami na podwojony kąt.

Checklista: co musisz umieć

  • Zapisać z pamięci sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha oraz trzy postacie cos⁡2α\cos 2\alpha.
  • Wyprowadzić te wzory z sinusa i cosinusa sumy kątów, gdyby wypadły z głowy.
  • Dobrać postać cosinusa do danych z zadania, zamiast liczyć na siłę.
  • Wyznaczyć drugą funkcję z jedynki trygonometrycznej i poprawnie ustalić znak na podstawie ćwiartki.
  • Rozwiązać równanie z sin⁡2x\sin 2x lub cos⁡2x\cos 2x przez wyłączenie czynnika albo podstawienie t=cos⁡xt = \cos x.
  • Zapisać założenia przy upraszczaniu wyrażeń z tangensem i ułamkami.
  • Sprawdzić wynik jedynką trygonometryczną dla kąta 2α2\alpha.
Następny krok Losuj kolejne zadanie

Kategoria: Trygonometria

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2916

zadań CKE

2916

rozwiązań

2401

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego i kąta w układzie współrzędnych - wzory i zadania maturalne

Jak obliczyć sinus, cosinus i tangens kąta, którego ramię przechodzi przez punkt P, i dlaczego dla kąta rozwartego cosinus i tangens są ujemne. Definicje z układu współrzędnych, tabela znaków, zamiana kąta rozwartego na ostry i sześć zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - podwojony kąt i zadania z matury rozszerzonej

Sinus sumy miesza funkcje i kopiuje znak, cosinus sumy nie miesza i odwraca znak. Z czterech wzorów bazowych wyprowadzamy podwojony kąt i zamianę sumy na iloczyn, a potem rozwiązujemy krok po kroku sześć zadań z arkuszy rozszerzonych CKE.

Rozwiązanie zadania

Jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens - zadania maturalne

Znasz tangens kąta i masz obliczyć sinus oraz cosinus? Poznaj dwie niezawodne metody: trójkąt prostokątny i jedynkę trygonometryczną, wzór na cosinus kwadrat z tangensa oraz 5 zadań w stylu arkuszy CKE, łącznie z kątem rozwartym.