Dla pewnego kąta ostrego α funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości sin α=a-1/4, cos α=a+1/4. Uzasadnij, że tg α=(4-√(7))/3.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że tg α= (4-√(7))/3
Korzysta się z jedynki trygonometrycznej, aby wyznaczyć wartość a, a następnie oblicza tangens.
## Krok 1: Zastosowanie jedynki trygonometrycznej
Dla dowolnego kąta zachodzi: sin² α+ cos² α= 1
Podstawia się dane wartości: (a - 1/4)² + (a + 1/4)² = 1
## Krok 2: Rozwinięcie kwadratów
a² - 2 · a · 1/4 + 1/16 + a² + 2 · a · 1/4 + 1/16 = 1
a² - a/2 + 1/16 + a² + a/2 + 1/16 = 1
## Krok 3: Uproszczenie równania
Wyrazy -a/2 i +a/2 się znoszą: 2a² + 2/16 = 1
2a² + 1/8 = 1
2a² = 1 - 1/8 = 7/8
a² = 7/16
## Krok 4: Wyznaczenie wartości a
a = ± √(7)/4
Ponieważ α jest kątem ostrym, to sin α> 0 i cos α> 0.
Sprawdza się warunek sin α> 0: a - 1/4 > 0 a > 1/4
Ponieważ √(7)/4 ≈ 2,65/4 ≈ 0,66 > 0,25, to wybiera się: a = √(7)/4
## Krok 5: Obliczenie sinusa i cosinusa
sin α= √(7)/4 - 1/4 = (√(7) - 1)/4
cos α= √(7)/4 + 1/4 = (√(7) + 1)/4
## Krok 6: Obliczenie tangensa
tg α= sin α/(cos α) = (√(7) - 1)/4/((√(7) + 1)/4) = (√(7) - 1)/(√(7) + 1)
## Krok 7: Wymiernienie mianownika
Mnoży się licznik i mianownik przez √(7) - 1: tg α= (√(7) - 1)²/((√(7) + 1)(√(7) - 1)) = (7 - 2√(7) + 1)/(7 - 1) = (8 - 2√(7))/6 = (4 - √(7))/3
Wykazałem, że tg α= (4 - √(7))/3.
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.