Punkt A=(2,7) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a punkt S=(6,5) jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Bok tego kwadratu ma długość
Odpowiedzi do wyboru
- A.√(10)
- B.√(20)
- C.2√(10)
- D.2√(20)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-114.png]
Wyznacza się długość boku kwadratu korzystając z własności środka okręgu opisanego.
Krok 2: Własności kwadratu i okręgu opisanego
Środek okręgu opisanego na kwadracie pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych kwadratu. Zatem punkt S jest środkiem kwadratu.
Krok 3: Związek między bokiem a przekątną
Jeśli bok kwadratu ma długość a, to przekątna ma długość a√(2).
Odległość od środka kwadratu do wierzchołka równa się połowie przekątnej: |AS| = a√(2)/2
Krok 4: Obliczenie odległości |AS|
Wyznacza się odległość między punktami A=(2,7) i S=(6,5):
|AS| = √((6-2)² + (5-7)²)
|AS| = √(4² + (-2)²)
|AS| = √(16 + 4)
|AS| = √(20) = 2√(5)
Krok 5: Wyznaczenie długości boku
Z zależności: a√(2)/2 = 2√(5)
Mnoży się obie strony przez 2: a√(2) = 4√(5)
Dzieli się przez √(2): a = 4√(5)/√(2) = 4√(5) · √(2)/2 = 4√(10)/2 = 2√(10)
Odpowiedź: C
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.