Zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami - baza maturalna

Geometria analityczna to jeden z najczęściej punktowanych działów na maturze z matematyki. W naszej bazie znajdziesz 283 zadania z tego działu pochodzące z prawdziwych arkuszy CKE - od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i diagnostyczne. Każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań się powtarzają, i prowadzi przez kilka rozwiązanych przykładów CKE.

Ile geometrii analitycznej jest na maturze

Geometria analityczna pojawia się na każdej maturze podstawowej - zwykle w postaci 2-4 zadań zamkniętych i co najmniej jednego zadania otwartego. To oznacza realnie od 4 do nawet 8 punktów na arkuszu. Przy progu zdawalności na poziomie 30 procent to są punkty, których nie wolno oddawać.

Dobra wiadomość jest taka, że ten dział jest wyjątkowo schematyczny. Zadania sprowadzają się do kilkunastu powtarzalnych typów: odległość punktów, środek odcinka, równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe, równanie okręgu, odległość punktu od prostej. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, to rozwiążesz praktycznie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię działu znajdziesz w przewodniku geometria analityczna na maturze.

Co musisz umieć - mapa działu

Zanim rzucisz się na zadania, sprawdź, czy znasz komplet wzorów. Większość z nich jest w karcie wzorów CKE, ale część musisz mieć w głowie. Oto rdzeń działu.

Długość odcinka między punktami $A=(x_A,y_A)$ i $B=(x_B,y_B)$:

$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Współrzędne środka odcinka $AB$:

$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$

Równanie kierunkowe prostej przez dwa punkty - najpierw współczynnik kierunkowy:

$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Warunek równoległości prostych: $a_1=a_2$. Warunek prostopadłości: $a_1\cdot a_2=-1$.

Równanie okręgu o środku $S=(p,q)$ i promieniu $r$:

$(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$

Odległość punktu $P=(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Każdy z tych wzorów ma u nas osobny poradnik z zadaniami: równanie prostej, równanie okręgu, odległość punktu od prostej oraz układ współrzędnych i wektory.

Baza zadań CKE wedlug typu

Zadania z geometrii analitycznej w bazie dzielą się na zamknięte (1 punkt, wybór odpowiedzi) i otwarte (2-6 punktów, pełne rozwiązanie). Oto jak rozkładają się najczęstsze typy i gdzie je ćwiczyć.

Najwięcej zadań tego działu pochodzi z arkuszy CKE 2015-2023 oraz z najnowszych arkuszy pokazowych CKE 2025. Wszystkie rozwiążesz w trybie nauki, gdzie po każdym zadaniu dostajesz pełne rozwiązanie.

Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Poniżej sześć prawdziwych zadań CKE z geometrii analitycznej, każde rozwiązane od początku do końca. Kliknij w numer zadania, żeby otworzyć je w bazie wraz z pełnym rozwiązaniem.

Zadanie 1

Dane są punkty $A=(-1,1)$, $B=(5,-3)$ oraz $C=(3,2)$. Wyznacz równanie środkowej poprowadzonej do boku $AB$ w trójkącie $ABC$.

Środkowa do boku $AB$ wychodzi z wierzchołka $C$ i trafia w środek boku $AB$. Najpierw środek:

$M=\left(\frac{-1+5}{2},\ \frac{1+(-3)}{2}\right)=(2,-1)$

Teraz prosta przez $C=(3,2)$ i $M=(2,-1)$. Współczynnik kierunkowy:

$a=\frac{2-(-1)}{3-2}=\frac{3}{1}=3$

Podstawiamy do $y-y_C=a(x-x_C)$: $y-2=3(x-3)$, czyli $y=3x-7$. To jest szukana środkowa.

Zadanie 2

Dany jest okrąg $O$ o równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=16$. Oblicz współrzędne $x$ punktów przecięcia okręgu $O$ z osią $Ox$.

Na osi $Ox$ zawsze $y=0$. Podstawiamy do równania okręgu:

$(x-2)^2+(0+3)^2=16$ $(x-2)^2+9=16$ $(x-2)^2=7$

Pierwiastkujemy obie strony: $x-2=\pm\sqrt{7}$, więc $x_1=2+\sqrt{7}$ oraz $x_2=2-\sqrt{7}$.

Zadanie 3

Punkty $A=(-1,-5)$, $B=(2,-7)$, $C=(6,9)$, $D=(-2,9)$ są wierzchołkami czworokąta $ABCD$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia jego przekątnych.

Przekątne to $AC$ i $BD$. Najpierw prosta $AC$. Współczynnik: $a=\frac{9-(-5)}{6-(-1)}=\frac{14}{7}=2$, więc $y=2x-3$. Teraz prosta $BD$: $a=\frac{9-(-7)}{-2-2}=\frac{16}{-4}=-4$, więc $y=-4x+1$.

Porównujemy: $2x-3=-4x+1$, stąd $6x=4$, czyli $x=\frac{2}{3}$. Wtedy $y=2\cdot\frac{2}{3}-3=-\frac{5}{3}$. Przekątne przecinają się w punkcie $P=\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\right)$.

Zadanie 4

Punkt $M=(2,1)$ jest środkiem boku $AB$, a punkt $N=(8,3)$ środkiem boku $BC$ kwadratu $ABCD$. Oblicz długość boku tego kwadratu.

Odcinek $MN$ łączy środki dwóch sąsiednich boków kwadratu. Jego długość:

$|MN|=\sqrt{(8-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

W kwadracie o boku $a$ odcinek łączący środki sąsiednich boków ma długość $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Zatem $\frac{a\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{10}$, stąd $a=2\sqrt{10}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}$.

Zadanie 5

Punkt $A=(2,7)$ jest wierzchołkiem kwadratu $ABCD$, a punkt $S=(6,5)$ środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Oblicz długość boku kwadratu.

Środek okręgu opisanego to środek kwadratu, a odległość $AS$ to połowa przekątnej:

$|AS|=\sqrt{(6-2)^2+(5-7)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Cała przekątna ma więc długość $d=2\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$. Bok kwadratu liczymy z zależności $d=a\sqrt{2}$:

$a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{10}$

Zadanie 6

Punkty $A=(7,6)$ i $B=(1,-2)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego $ABC$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Najpierw bok trójkąta, czyli długość $AB$:

$|AB|=\sqrt{(7-1)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

Dla trójkąta równobocznego o boku $a$ promień okręgu opisanego wynosi $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Podstawiamy $a=10$:

$R=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Najczęstsze typy zadań i pułapki

Po przerobieniu kilkudziesięciu zadań z tego działu zauważysz, że pułapki się powtarzają. Oto te, które najczęściej kosztują punkty.

Pułapka pierwsza: mylenie wzoru na środek odcinka ze wzorem na długość. Środek to średnia współrzędnych (dodajesz i dzielisz przez dwa), długość to pierwiastek z sumy kwadratów różnic. Brzmi banalnie, a pod presją czasu łatwo o pomyłkę.

Pułapka druga: znak w warunku prostopadłości. Proste są prostopadłe, gdy $a_1\cdot a_2=-1$, a nie gdy są równe. Jeśli jedna prosta ma współczynnik $2$, to prostopadła ma $-\frac{1}{2}$.

Pułapka trzecia: zapominanie o wszystkich przypadkach. W zadaniach typu "rozważ wszystkie przypadki" (jak przy szukaniu środka okręgu opisanego na kwadracie z jednym danym bokiem) bywają dwa rozwiązania. Pominięcie jednego to utrata punktów.

Pułapka czwarta: błędy rachunkowe przy pierwiastkach. $\sqrt{40}$ to $2\sqrt{10}$, a nie $4\sqrt{10}$. Naucz się sprawnie wyłączać czynnik przed pierwiastek - więcej w poradniku o błędach rachunkowych.

Pułapka piąta: zapominanie o pierwiastku przy promieniu. W równaniu okręgu po prawej stronie stoi $r^2$, a nie $r$. Jeśli w zadaniu podano promień 5, po prawej wpisujesz 25, a gdy odczytujesz promień z równania, pamiętaj o pierwiastku - w zadaniu 2 powyżej po prawej stało 16, więc promień to 4.

Pułapka szósta: postać prostej przy wzorze na odległość. Wzór na odległość punktu od prostej działa wyłącznie dla postaci ogólnej $Ax+By+C=0$. Jeśli masz prostą w postaci kierunkowej $y=ax+b$, najpierw przenieś wszystko na jedną stronę - dopiero wtedy podstawiaj. Cały schemat rozpisaliśmy w poradniku o odległości punktu od prostej.

Jak czytać rozwiązanie krok po kroku

Samo zerknięcie na odpowiedź nic nie daje. Zysk z rozwiązanego zadania pojawia się dopiero wtedy, gdy rozumiesz każdy krok rozumowania. Dlatego rozwiązania w bazie nie podają samego wyniku - prowadzą cię przez całą drogę: od tego, co jest dane, przez wybór wzoru, aż po obliczenia.

Czytaj rozwiązanie aktywnie. Po każdym kroku zatrzymaj się i zadaj pytanie: dlaczego akurat ten wzór, dlaczego ta kolejność działań? W zadaniu 1 powyżej kluczowy był pomysł, żeby najpierw policzyć środek boku, a dopiero potem prostą. W zadaniu 3 trik polegał na tym, żeby zapisać równania obu przekątnych i przyrównać je do siebie. To są schematy, które wracają na maturze.

Najlepszy nawyk to zasłonić rozwiązanie i spróbować dojść do wyniku samemu, odsłaniając kolejne kroki tylko wtedy, gdy naprawdę utkniesz. Jeśli masz własne zadanie, którego nie ma w bazie, wrzuć je do solvera - dostaniesz rozpisane rozwiązanie w tym samym stylu. O metodach weryfikacji własnych obliczeń pisaliśmy też w poradniku jak sprawdzać odpowiedzi na maturze.

Od czego zacząć, jeśli ten dział leży

Jeśli geometria analityczna na razie ci nie idzie, nie rzucaj się od razu na zadania za 5 punktów. Zacznij od najprostszych typów: liczenie długości odcinka i środka odcinka. To zadania jednokrokowe - podstawiasz do wzoru i masz wynik. Jak je opanujesz, dorzuć równanie prostej przez dwa punkty, bo połowa zadań otwartych z tego działu sprowadza się właśnie do wyznaczenia prostej.

Dopiero potem przejdź do okręgu i odległości punktu od prostej, które łączą kilka wzorów naraz. Taka kolejność - od zadań jednokrokowych do złożonych - sprawia, że budujesz pewność, zamiast od razu zderzać się ze ścianą. Jeśli braki masz głębsze, sięgnij po poradnik jak uczyć się matematyki od zera, a planowanie całej powtórki ogarniesz z poradnikiem matura z matematyki bez korepetycji.

Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Najlepszy sposób na geometrię analityczną to dużo zadań z natychmiastową informacją zwrotną. Oto jak to ułożyć na sprawnamatura.pl.

Zacznij od trybu losowego z filtrem na geometrię analityczną - dostajesz zadanie po zadaniu, a po każdym pełne rozwiązanie. Gdy utkniesz na własnym zadaniu albo chcesz sprawdzić swoje obliczenia, wrzuć je do solvera. Kiedy poczujesz, że typy wchodzą automatycznie, rozwiąż cały arkusz CKE albo przejdź przez symulator matury, żeby przećwiczyć dział pod presją czasu. Postępy śledź na stronie statystyk.

Jeśli uczysz się samodzielnie, bez korepetytora, ten dział jest idealny na początek - jest schematyczny i daje pewne punkty. Cały plan takiej nauki opisaliśmy w poradniku matura z matematyki bez korepetycji.

Najczęstsze pytania

Podsumowanie - co musisz umieć

Z geometrii analitycznej na maturze podstawowej musisz pewnie liczyć: długość odcinka, środek odcinka, równanie prostej przez dwa punkty, warunki równoległości i prostopadłości, równanie okręgu oraz odległość punktu od prostej. To zestaw, który zamyka większość zadań z tego działu.

Masz 283 zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w trybie nauki już dziś. A jeśli przygotowujesz się bez korepetytora, połącz ten dział z pełnym planem z poradnika matura z matematyki bez korepetycji.

Następny krok Losuj kolejne zadanie