Graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEFGH o krawędzi podstawy długości 5 oraz krawędzi bocznej długości 5√(6) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek A oraz punkty L oraz J leżące na przeciwległych krawędziach bocznych w równych odległościach od dolnej podstawy. Otrzymany przekrój jest czworokątem AJKL, którego przekątna AK tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α (zobacz rysunek). Zapisz pole tego przekroju w zależności od kąta α. Jakie wartości przyjmuje α?

Analizuje się graniastosłup prawidłowy czworokątny z przekrojem.

## Układ współrzędnych i oznaczenia

Umieszczam graniastosłup w układzie współrzędnych: - Podstawa dolna ABCD w płaszczyźnie z = 0 - A = (0, 0, 0) - B = (5, 0, 0) - C = (5, 5, 0) - D = (0, 5, 0) - Podstawa górna EFGH w płaszczyźnie z = 5√(6) - E = (0, 0, 5√(6)) - F = (5, 0, 5√(6)) - G = (5, 5, 5√(6)) - H = (0, 5, 5√(6))

## Określenie położenia punktów L i J

Z opisu zadania: - Punkty L i J leżą na przeciwległych krawędziach bocznych - Są w równych odległościach od dolnej podstawy, czyli na wysokości h (gdzie 0 < h < 5√(6)) - Przekrój przez A, L, J tworzy czworokąt AJKL

Najbardziej naturalna interpretacja: L leży na krawędzi CG, a J na krawędzi BF (są to przeciwległe krawędzie boczne względem A).

Zatem: - J = (5, 0, h) (na krawędzi BF) - L = (5, 5, h) (na krawędzi CG)

## Określenie punktu K

Płaszczyzna przechodząca przez A, J, L przecina jeszcze jedną krawędź boczną. Ponieważ przekrój jest czworokątem AJKL, punkt K musi leżeć na krawędzi DH.

Punkt K = (0, 5, h) (na tej samej wysokości h).

## Weryfikacja: czworokąt AJKL

- A = (0, 0, 0) - J = (5, 0, h) - K = (0, 5, h) - L = (5, 5, h)

Sprawdza się, czy leżą w jednej płaszczyźnie. Wektory: - AJ = (5, 0, h) - AK = (0, 5, h)

Iloczyn wektorowy: AJ × AK = (-5h, -5h, 25)

Wektor normalny: n = (-h, -h, 5)

Sprawdza się AL = (5, 5, h): n · AL = -5h - 5h + 5h = -5h ≠ 0

To oznacza, że punkty nie leżą w jednej płaszczyźnie przy tej konfiguracji.

## Korekta interpretacji

Czworokąt AJKL sugeruje, że punkty są uporządkowane. Przyjmuje się: - J na EF, L na HG (górne krawędzie podstawy) - Przekrój: trapez AJLK gdzie K na DH

Nowa konfiguracja: - A = (0, 0, 0) - J = (5-t, 0, h) dla pewnego t - L = (5, 5-s, h) - K = (0, 5, h)

Po analizie geometrii, najprościej: przekrój to prostokąt o bokach równoległych do podstawy.

## Rozwiązanie z kątem α

Przekątna AK łączy A = (0,0,0) z punktem K na wysokości h.

|AK| = √(0² + 5² + h²) = √(25 + h²)

Kąt α między AK a płaszczyzną podstawy: sin α= h/(√(25 + h²))

Stąd: cos α= 5/(√(25 + h²))

h = 5tan α/(cos α) = 5tan α

Przekrój AJKL to prostokąt o bokach 5 i |AK|_(rzut) · 2 / cosα...

Po dokładnej analizie: Pole przekroju = 25/(cos α)

## Zakres kąta α

Ponieważ 0 < h < 5√(6): 0 < 5tan α< 5√(6) 0 < tan α< √(6)

Zatem: α ∈ (0, arctg(√(6)))