Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.45°
- B.30°
- C.75°
- D.90°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Bardzo ważną informacją jest fakt, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Jeśli krawędzi podstawy oznaczymy sobie jako a, to skoro są to wszystko trójkąty równoboczne to także krawędzie boczne możemy opisać jako a. Dodatkowo przekątna kwadratu ma długość a√(2).
Krok 2. Wyznaczenie miary kąta ASC.
W zasadzie możemy miarę tego kąta wyznaczyć na dwa sposoby:
I sposób - z podobieństwa trójkątów.
Możemy zauważyć, że trójkąt ASC jest trójkątem podobnym do trójkąta ABC. Mają one te same długości ramion , czyli a oraz podstawy czyli a√(2). Skoro tak, to wszystkie miary tych kątów będą także sobie równe. My wiemy, że |∢ABC|=90°, bo wszystkie kąty w kwadracie mają taką miarę. Stąd też także |∢ASC|=90°.
II sposób - z Twierdzenia Pitagorasa.
Ogólnie z Twierdzenia Pitagorasa możemy korzystać tylko przy obliczeniach na trójkątach prostokątnych. My nie wiemy czy nasz trójkąt jest prostokątny, ale jeśli pod a²+b²=c² podstawimy nasze dane i równość okaże się prawdziwa, to będzie to oznaczało, że trójkąt jest prostokątny, a tym samym ∢ASC=90°. Zatem:
a²+a²=(a√(2))² 2a²=2a² L=P
Jest to więc trójkąt prostokątny, czyli poszukiwana miara kąta to 90°.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.