Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wewnątrz trapezu zostały poprowadzone dwie dwusieczne, więc możemy nanieść na rysunek miary kątów α oraz β w następujący sposób:
Krok 2. Wykorzystanie własności trapezu do obliczenia sumy miar kątów α oraz β.
Spójrzmy na trapez ABCD. Jedną z własności trapezu jest to, że suma kątów przy jednym ramieniu jest równa 180°. To oznacza, że:
|∢ABC|+|∢BCD|=180° 2α+2β=180° /:2 α+β=90°
Gdybyśmy nie pamiętali o tym, że suma miar przy jednym ramieniu trapezu jest równa 180°, to mogliśmy od 360° odliczyć dwa kąty proste DAB oraz CDA i także doszlibyśmy do wniosku, że |∢ABC|+|∢BCD|=180°.
Krok 3. Obliczenie miary kątów BFC oraz EFC.
Zacznijmy od kąta BFC. Jego miarę możemy oznaczyć jako 180°-(α+β), bo suma kątów w trójkącie BFC musi być równa 180°. Wiedząc, że α+β=90° okazuje się, że |∢BFC|=90°.
Kąt EFC jest przyległy do kąta BFC, a więc jego miara jest równa 180°-90°=90°.
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy na czworokąt CDEF.
Skoro |∢EFC|=90° oraz |∢CDE|=90°, to suma miar pierwszej pary kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa 180°.
Suma kątów w czworokącie musi być równa 360°, więc to oznacza, że suma kątów w drugiej parze kątów przeciwległych jest równa:
|∢FCD|+|∢DEF|=360°-180°=180°
Suma miar przeciwległych kątów czworokąta CDEF jest więc jednakowa, co należało udowodnić.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.