Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4. Zatem pole trójkąta ABC jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.12
- B.16
- C.18
- D.20
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysowalismy sobie wysokość CH trójkąta ABC. Podzieliła nam ona trójkąt na dwa mniejsze trójkąty - ACH oraz BCH. Suma pól powierzchni tych trójkątów da nam poszukiwane pole trójkąta ABC.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta ACH.
Skorzystamy tutaj ze skali podobieństwa trójkątów ACH oraz AFD. Z treści zadania wynika, że k=|AC|/|AD|=2. Z geometrii wiemy, że stosunek dwóch pól figur podobnych jest równy k², czyli w naszym przypadku k²=2²=4. Skoro pole trójkąta AFD jest równe 4, a pole ACH musi być czterokrotnie większe, to P_(ACH)=4 · 4=16.
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta BCH.
Analogicznie możemy przeanalizować parę trójkątów BCH oraz BGE. Skoro k=|BH|/|BG|=2, to ponownie pole trójkąta BCH będzie czterokrotnie większe od pola trójkąta BGE. Pole trójkąta BCH jest więc równe P_(BCH)=4 · 1=4.
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta ABC.
P_(ABC)=P_(ACH)+P_(BCH) P_(ABC)=16+4 P_(ABC)=20
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.