Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x⁴+y⁴+x²+y² ≥ 2(x³+y³)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód
Całość zadania sprowadza się do tego aby wymnożyć wyrazy po prawej stronie, przenieść je na lewą stronę. Następnie kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że powstały zapis można przekształcić, korzystając wzorów skróconego mnożenia:
x⁴+y⁴+x²+y² ≥ 2(x³+y³) x⁴+y⁴+x²+y² ≥ 2x³+2y³ x⁴+y⁴+x²+y²-2x³-2y³ ≥ 0 x⁴-2x³+x²+y⁴-2y³+y² ≥ 0 (x²-x)²+(y²-y)² ≥ 0
Każda liczba podniesiona do kwadratu będzie dodatnia lub równa zero, a suma dwóch takich liczb da także wartość dodatnią lub równą zero. To oznacza, że nierówność jest prawidłowa, co należało udowodnić.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.