Matura czerwiec 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura czerwiec 2016

Matura z matematyki z sesji dodatkowej (czerwiec) 2016 to arkusz, który wielu uczniów kompletnie pomija podczas powtórek - i to spory błąd. Sesja dodatkowa ma porównywalny poziom trudności do sesji głównej z maja 2016, a ponieważ mniej osób go zna, możesz na nim uczciwie sprawdzić swoje umiejętności bez ryzyka, że "przypadkiem" znasz odpowiedzi z filmików na YouTube.

Arkusz składał się z 33 zadań: 25 zamkniętych (po 1 punkcie) i 8 otwartych (za 2-5 punktów), łącznie 49 punktów. Zwróć uwagę - to 33 zadania, nie 34 jak w większości arkuszy. CKE czasem zmienia liczbę zadań między sesjami. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów.

Rok 2016 był dopiero drugą sesją nowej formuły matury (po 2015). CKE wciąż kalibrowało trudność, ale ten arkusz jest dobrze wyważony i świetnie nadaje się do powtórek. Jeśli chcesz porównać z sesją główną, zajrzyj do rozwiązań matury maj 2016. Wszystkie arkusze znajdziesz w kompletnej bazie arkuszy CKE 2010-2025.

Rozkład kategorii w arkuszu

Dominuje geometria analityczna - aż 4+ zadania za 6 punktów. Na drugim miejscu ciągi (3 zadania, ale za aż 7 punktów - jest tu zadanie otwarte za 5 pkt). Równania i nierówności to tradycyjnie silna kategoria z 3 zadaniami za 5 punktów.

Procenty mimo tylko 2 zadań dają 6 punktów - jedno z nich to rozbudowane zadanie otwarte. Stereometria wygląda podobnie: 2 zadania, ale za 5 punktów (w tym zadanie za 4 pkt). Kto opanuje te działy, zgarnia bonus punktowy.

Poziom trudności

Arkusz czerwcowy 2016 był nieco łatwiejszy od sesji majowej w części zamkniętej, ale trudniejszy w zadaniach otwartych - szczególnie ciągi za 5 punktów i stereometria za 4 punkty potrafiły zaskoczyć.

Łatwe (ok. 15 punktów) - wyrażenia algebraiczne, podstawowe potęgi, proste zadania z geometrii analitycznej (odczytywanie współrzędnych, równanie prostej), funkcja kwadratowa. To zadania, które musisz robić bezbłędnie. Jeśli masz z nimi problem, wróć do potęg i pierwiastków i funkcji kwadratowej.

Średnie (ok. 20 punktów) - logarytmy, ciągi arytmetyczne i geometryczne, procenty z kontekstem, równanie wymierne, planimetria. Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania w różnych kontekstach pozwolą ci zdobyć większość tych punktów. Przeczytaj jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze, żeby nie tracić punktów na formalności.

Trudne (ok. 14 punktów) - ciąg arytmetyczny za 5 punktów, stereometria stożka za 4 punkty, dowód algebraiczny za 2 punkty. To zadania, które odróżniają wynik 60% od 80%+. Ale nawet tu punkty cząstkowe są w zasięgu - samo zapisanie danych i wzoru to już 1-2 punkty.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 3 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Oblicz $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$

Rozwiązanie:

Klucz to zamienić wszystko na potęgi trójki. To uniwersalny schemat w zadaniach z potęgami - zamieniasz pierwiastki na ułamkowe wykładniki i upraszczasz.

Najpierw podwyrażenie $3\sqrt{3}$:

$$3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$$

Teraz pierwiastek trzeciego stopnia z tego wyrażenia:

$$\sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}} = \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

Odpowiedź: $\sqrt{3}$

Schemat: zamień na potęgi -> pomnóż wykładniki -> uprość. Ten sam wzorzec wraca na maturze co roku. Pamiętaj: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ i $a^k \cdot a^l = a^{k+l}$. Nie komplikuj - sprowadź do jednej podstawy i licz wykładniki.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 6 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Oblicz $\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9}$

Rozwiązanie:

Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu. To pierwsza własność, po którą sięgasz, gdy widzisz dodawanie logów:

$$\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9} = \log_3\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9}\right)$$

Mnożymy ułamki:

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$

Więc:

$$\log_3\frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$$

Odpowiedź: $-1$

Typowe zadanie na własność $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$. Najczęstszy błąd: dodawanie argumentów zamiast ich mnożenia. Pamiętaj - logarytm "zamienia" mnożenie na dodawanie, nie odwrotnie. Ćwicz tego typu zadania na zadaniach z logarytmów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 10 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) ↗

Treść: Dana jest funkcja $f(x)=-2(x+5)(x-11)$. Wyznacz największy przedział, w którym funkcja jest rosnąca.

Rozwiązanie:

Funkcja kwadratowa podana w postaci iloczynowej. Odczytujemy od razu miejsca zerowe:

$$x_1 = -5, \quad x_2 = 11$$

Współczynnik $a = -2 < 0$, więc parabola ma ramiona skierowane w dół. Wierzchołek jest w punkcie:

$$x_w = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Parabola z ramionami w dół rośnie na lewo od wierzchołka i maleje na prawo. Zatem funkcja jest rosnąca na przedziale:

$$(-\infty,\; 3]$$

Odpowiedź: Największy przedział, w którym $f$ jest rosnąca, to $(-\infty, 3]$.

Postać iloczynowa to prezent od CKE - od razu widzisz miejsca zerowe bez liczenia delty. Potem średnia arytmetyczna miejsc zerowych daje ci $x$-ową wierzchołka. Pamiętaj: $a < 0$ to parabola "smutna" (ramiona w dół), funkcja rośnie do wierzchołka, potem maleje.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 20 - Stereometria (1 pkt) ↗

Treść: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Oblicz kąt między ścianą boczną a podstawą.

Rozwiązanie:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny z bocznymi ścianami jako trójkątami równobocznymi - to znaczy, że krawędź boczna jest równa krawędzi podstawy. Oznaczmy bok podstawy (i krawędź boczną) jako $a$.

Podstawa to kwadrat o boku $a$. Środek podstawy O jest w odległości $\frac{a}{2}$ od środka każdego boku. Niech M to środek boku podstawy AB. Kąt między ścianą boczną a podstawą to kąt $\angle SMO$, gdzie S to wierzchołek ostrosłupa.

Wysokość trójkąta równobocznego (ściany bocznej) opuszczona z S na AB:

$$SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Odległość od środka podstawy do środka boku:

$$OM = \frac{a}{2}$$

Wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOM:

$$SO = \sqrt{SM^2 - OM^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Kąt $\beta = \angle SMO$ w trójkącie prostokątnym SOM:

$$\tg\beta = \frac{SO}{OM} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{2}$$ $$\beta = \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) \approx 54{,}7°$$

Odpowiedź: Kąt między ścianą boczną a podstawą wynosi $\operatorname{arctg}(\sqrt{2})$.

To zadanie łączy stereometrię z planimetrią. Najważniejsze to prawidłowo zidentyfikować, gdzie leży kąt dwuścienny - zawsze szukasz go w trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość ostrosłupa, apotema podstawy (odcinek od środka do boku) i wysokość ściany bocznej.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 26 - Równanie wymierne (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Dziedzina. Mianowniki nie mogą być zerem, więc $2x \neq 0$ i $x + 1 \neq 0$:

$$x \neq 0 \quad \text{i} \quad x \neq -1$$

Krok 2 - Przenosimy na jedną stronę. Zamiast mnożyć krzyżowo (co daje duże wyrażenie), odejmujemy prawo od lewa:

$$\frac{2x+1}{2x} - \frac{2x+1}{x+1} = 0$$

Wyciągamy wspólny czynnik $(2x+1)$:

$$(2x+1)\left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1}\right) = 0$$

Krok 3 - Iloczyn równy zero. Albo $2x + 1 = 0$, albo $\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1} = 0$.

Przypadek 1: $2x + 1 = 0$, czyli $x = -\frac{1}{2}$. Sprawdzamy dziedzinę: $-\frac{1}{2} \neq 0$ i $-\frac{1}{2} \neq -1$ - pasuje.

Przypadek 2: $\frac{1}{2x} = \frac{1}{x+1}$, czyli $x + 1 = 2x$ (mnożymy krzyżowo, bo oba mianowniki niezerowe w dziedzinie). Stąd $x = 1$. Sprawdzamy dziedzinę: $1 \neq 0$ i $1 \neq -1$ - pasuje.

Odpowiedź: $x \in \left\{-\frac{1}{2},\; 1\right\}$

Zwróć uwagę na sprytną metodę: zamiast mnożyć krzyżowo od razu, przenosimy na jedną stronę i wyciągamy wspólny czynnik. To szybsze i mniejsze ryzyko błędu rachunkowego. Na maturze za rozwiązanie równań wymiernych CKE wymaga jawnego wyznaczenia dziedziny - pominięcie tego kosztuje punkt.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 28 - Dowód algebraiczny (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi nierówność $x^4 + y^4 \geq x^2 y^2$.

Rozwiązanie:

Dowód polega na sprowadzeniu nierówności do postaci, w której widać, że jest oczywiście prawdziwa.

Krok 1 - Przenosimy na jedną stronę:

$$x^4 + y^4 - x^2 y^2 \geq 0$$

Krok 2 - Dodajemy i odejmujemy sprytny składnik. Użyjemy tożsamości:

$$x^4 + y^4 - x^2 y^2 = x^4 - 2x^2 y^2 + y^4 + x^2 y^2 = (x^2 - y^2)^2 + x^2 y^2$$

Krok 3 - Ocena znaku. Mamy sumę dwóch wyrażeń:

Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna:

$$(x^2 - y^2)^2 + (xy)^2 \geq 0$$

Zatem $x^4 + y^4 - x^2 y^2 \geq 0$, czyli $x^4 + y^4 \geq x^2 y^2$. $\square$

Odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla dowolnych $x, y \in \mathbb{R}$.

Schemat dowodu nierówności na maturze to prawie zawsze: przenieś na jedną stronę, przekształć do sumy kwadratów (lub innej formy oczywiście nieujemnej), uzasadnij nieujemność. Kluczowy trik to "dodanie i odjęcie" składnika $x^2 y^2$, żeby utworzyć pełny kwadrat. To standardowa technika - przećwicz ją na zadaniach z równań i nierówności.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 31 - Ciąg arytmetyczny (otwarte, 5 pkt) ↗

Treść: Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb jest równa 15, a suma ich kwadratów jest równa 83. Znajdź te liczby.

Rozwiązanie:

To zadanie za 5 punktów, więc CKE oczekuje pełnego, starannego rozwiązania. Kluczowy trik: trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy symetrycznie.

Krok 1 - Wprowadzenie oznaczeń. Niech trzy wyrazy ciągu arytmetycznego to:

$$a - r, \quad a, \quad a + r$$

gdzie $a$ to wyraz środkowy, a $r$ to różnica ciągu.

Krok 2 - Warunek na sumę:

$$(a - r) + a + (a + r) = 15$$ $$3a = 15$$ $$a = 5$$

Krok 3 - Warunek na sumę kwadratów:

$$(5 - r)^2 + 5^2 + (5 + r)^2 = 83$$

Rozwijamy kwadraty:

$$25 - 10r + r^2 + 25 + 25 + 10r + r^2 = 83$$

Wyrazy z $r$ ($-10r$ i $+10r$) redukują się:

$$75 + 2r^2 = 83$$ $$2r^2 = 8$$ $$r^2 = 4$$ $$r = 2 \quad \text{lub} \quad r = -2$$

Krok 4 - Wyznaczenie liczb:

Dla $r = 2$: $3, 5, 7$

Dla $r = -2$: $7, 5, 3$

Krok 5 - Sprawdzenie:

Odpowiedź: Szukane liczby to $3, 5, 7$ (lub równoważnie $7, 5, 3$).

Zapis symetryczny $(a-r, a, a+r)$ to najlepsza strategia dla trzech wyrazów ciągu arytmetycznego - różnica automatycznie się redukuje przy sumowaniu. Dla czterech wyrazów użyłbyś $(a-3d, a-d, a+d, a+3d)$ z różnicą $2d$. Schemat oceniania CKE za to zadanie przyznaje punkty za: (1) prawidłowe oznaczenia, (2) wyznaczenie $a$, (3) równanie na $r$, (4) rozwiązanie i sprawdzenie. Nawet jeśli pomylisz się na końcu, pierwsze kroki dają ci 2-3 punkty cząstkowe. Więcej o ciągach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 32 - Stereometria, stożek (otwarte, 4 pkt) ↗

Treść: Stożek ma objętość $8\pi$. Stosunek wysokości do promienia podstawy wynosi $\frac{h}{r} = \frac{3}{2}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Wyznaczenie $h$ i $r$. Ze stosunku $\frac{h}{r} = \frac{3}{2}$ mamy $h = \frac{3}{2}r$. Podstawiamy do wzoru na objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \frac{3}{2}r = \frac{1}{2}\pi r^3$$

Przyrównujemy do $8\pi$:

$$\frac{1}{2}\pi r^3 = 8\pi$$ $$r^3 = 16$$ $$r = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}$$

Oraz:

$$h = \frac{3}{2}r = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$$

Krok 2 - Tworząca stożka. Z twierdzenia Pitagorasa (przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, a trójkąt prostokątny tworzą $r$, $h$ i tworząca $l$):

$$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(2\sqrt[3]{2})^2 + (3\sqrt[3]{2})^2}$$ $$l = \sqrt{4\sqrt[3]{4} + 9\sqrt[3]{4}} = \sqrt{13\sqrt[3]{4}}$$ $$l = \sqrt{13 \cdot 4^{1/3}} = \sqrt{13} \cdot 2^{1/3}$$

Krok 3 - Pole powierzchni całkowitej. Wzór:

$$P_c = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$$

Podstawiamy $r = 2\sqrt[3]{2}$ i $l = \sqrt{13} \cdot 2^{1/3} = \sqrt{13} \cdot \sqrt[3]{2}$:

$$P_c = \pi \cdot 2\sqrt[3]{2} \cdot \left(\sqrt{13} \cdot \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2}\right)$$ $$P_c = \pi \cdot 2\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}\left(\sqrt{13} + 2\right)$$ $$P_c = \pi \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \left(\sqrt{13} + 2\right)$$ $$P_c = 2\sqrt[3]{4}\left(\sqrt{13} + 2\right)\pi$$

Odpowiedź: $P_c = 2\sqrt[3]{4}(\sqrt{13} + 2)\pi$

To zadanie wymaga starannych rachunków z pierwiastkami trzeciego stopnia - łatwo się pomylić. Kluczowe etapy: (1) wyznacz $r$ z objętości, (2) oblicz $h$ ze stosunku, (3) policz tworzącą z Pitagorasa, (4) podstaw do wzoru na pole całkowite. Schemat oceniania CKE przyznaje punkty osobno za każdy etap, więc nawet jeśli zatrzymasz się na wyznaczeniu $r$ i $h$, dostajesz 2 punkty. Przeczytaj nasz przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 33 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2016

1. Geometria analityczna króluje. 4+ zadania za 6 punktów - to więcej niż w sesji majowej. Opanuj równania prostych, odległość punktu od prostej i równanie okręgu. Ćwicz geometrię analityczną

2. Ciągi za duże punkty. 3 zadania, ale aż 7 punktów (w tym jedno za 5 pkt). Zapis symetryczny trzech wyrazów ciągu arytmetycznego to obowiązkowa technika. Ćwicz ciągi

3. Potęgi i pierwiastki to fundament. Zamiana na potęgi o wspólnej podstawie pojawia się nie tylko w "czystych" zadaniach z potęgami, ale też w logarytmach i stereometrii. To narzędzie, które musisz mieć w małym palcu. Ćwicz potęgi

4. Równania wymierne - zawsze dziedzina. Pominięcie dziedziny w równaniu wymiernym to stracony punkt. CKE wymaga jawnego zapisania warunków na mianowniki. Rób to mechanicznie - na początku każdego zadania z ułamkami.

5. Dowody algebraiczne mają schemat. Przenieś na jedną stronę, sprowadź do sumy kwadratów, uzasadnij nieujemność. Ten sam wzorzec działa w 90% dowodów nierówności na maturze.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Tydzień 1 - Próba egzaminacyjna. Rozwiąż cały arkusz w warunkach zbliżonych do matury: 170 minut, bez kalkulatora, bez telefonu. Zapisz wynik i zaznacz, które zadania sprawiły problemy. Nie podglądaj rozwiązań w trakcie - chodzi o diagnozę, nie o wynik.

Tydzień 2 - Analiza błędów. Dla każdego błędnego zadania odpowiedz sobie na pytanie: czy problem to brak wiedzy (nie znam wzoru), brak techniki (znam wzór, ale nie umiem go zastosować) czy błąd rachunkowy (umiem, ale się pomyliłem)? Każdy typ wymaga innej pracy:

Tydzień 3 - Ponowne rozwiązanie i kolejny arkusz. Rozwiąż ten sam arkusz jeszcze raz, żeby upewnić się, że uzupełniłeś braki. Potem przejdź do kolejnego - polecam maturę maj 2016 (sesja główna) albo maturę czerwiec 2018 (sesja dodatkowa dwa lata później, żeby zobaczyć ewolucję trudności).

Przygotowujesz się do matury? Na Sprawnej Maturze mamy ponad 2400 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować losowego zadania, żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii.