Matura czerwiec 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Rozwiązanie:

Funkcja kwadratowa podana w postaci iloczynowej. Odczytujemy od razu miejsca zerowe:

Współczynnik $a = -2 < 0$, więc parabola ma ramiona skierowane w dół. Wierzchołek jest w punkcie:

Parabola z ramionami w dół rośnie na lewo od wierzchołka i maleje na prawo. Zatem funkcja jest rosnąca na przedziale:

Postać iloczynowa to prezent od CKE - od razu widzisz miejsca zerowe bez liczenia delty. Potem średnia arytmetyczna miejsc zerowych daje ci $x$-ową wierzchołka. Pamiętaj: $a < 0$ to parabola "smutna" (ramiona w dół), funkcja rośnie do wierzchołka, potem maleje.

Rozwiązanie:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny z bocznymi ścianami jako trójkątami równobocznymi - to znaczy, że krawędź boczna jest równa krawędzi podstawy. Oznaczmy bok podstawy (i krawędź boczną) jako $a$.

Podstawa to kwadrat o boku $a$. Środek podstawy O jest w odległości $\frac{a}{2}$ od środka każdego boku. Niech M to środek boku podstawy AB. Kąt między ścianą boczną a podstawą to kąt $\angle SMO$, gdzie S to wierzchołek ostrosłupa.

Wysokość trójkąta równobocznego (ściany bocznej) opuszczona z S na AB:

Odległość od środka podstawy do środka boku:

Wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOM:

Kąt $\beta = \angle SMO$ w trójkącie prostokątnym SOM:

To zadanie łączy stereometrię z planimetrią. Najważniejsze to prawidłowo zidentyfikować, gdzie leży kąt dwuścienny - zawsze szukasz go w trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość ostrosłupa, apotema podstawy (odcinek od środka do boku) i wysokość ściany bocznej.

Rozwiązanie:

Dowód polega na sprowadzeniu nierówności do postaci, w której widać, że jest oczywiście prawdziwa.

1. Krok 1

   Przenosimy na jedną stronę:

   $x^4 + y^4 - x^2 y^2 \geq 0$
2. Krok 2

   Dodajemy i odejmujemy sprytny składnik

   Użyjemy tożsamości:

   $x^4 + y^4 - x^2 y^2 = x^4 - 2x^2 y^2 + y^4 + x^2 y^2 = (x^2 - y^2)^2 + x^2 y^2$
3. Krok 3

   Ocena znaku

   Mamy sumę dwóch wyrażeń:

   • •$(x^2 - y^2)^2 \geq 0$ - kwadrat jest zawsze nieujemny
   • •$x^2 y^2 = (xy)^2 \geq 0$ - kwadrat jest zawsze nieujemny

   Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna:

   $(x^2 - y^2)^2 + (xy)^2 \geq 0$

   Zatem $x^4 + y^4 - x^2 y^2 \geq 0$, czyli $x^4 + y^4 \geq x^2 y^2$. $\square$

Schemat dowodu nierówności na maturze to prawie zawsze: przenieś na jedną stronę, przekształć do sumy kwadratów (lub innej formy oczywiście nieujemnej), uzasadnij nieujemność. Kluczowy trik to "dodanie i odjęcie" składnika $x^2 y^2$, żeby utworzyć pełny kwadrat. To standardowa technika - przećwicz ją na zadaniach z równań i nierówności.

Rozwiązanie:

To zadanie za 5 punktów, więc CKE oczekuje pełnego, starannego rozwiązania. Kluczowy trik: trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy symetrycznie.

1. Krok 1

   Wprowadzenie oznaczeń

   Niech trzy wyrazy ciągu arytmetycznego to:

   $a - r, \quad a, \quad a + r$

   gdzie $a$ to wyraz środkowy, a $r$ to różnica ciągu.

2. Krok 2

   Warunek na sumę:

   $(a - r) + a + (a + r) = 15$$3a = 15$$a = 5$
3. Krok 3

   Warunek na sumę kwadratów:

   $(5 - r)^2 + 5^2 + (5 + r)^2 = 83$

   Rozwijamy kwadraty:

   $25 - 10r + r^2 + 25 + 25 + 10r + r^2 = 83$

   Wyrazy z $r$ ($-10r$ i $+10r$) redukują się:

   $75 + 2r^2 = 83$$2r^2 = 8$$r^2 = 4$$r = 2 \quad \text{lub} \quad r = -2$
4. Krok 4

   Wyznaczenie liczb:

   Dla $r = 2$: $3, 5, 7$

   Dla $r = -2$: $7, 5, 3$

5. Krok 5

   Sprawdzenie:

   • •Suma: $3 + 5 + 7 = 15$ $\checkmark$
   • •Suma kwadratów: $9 + 25 + 49 = 83$ $\checkmark$
   • •Ciąg arytmetyczny z różnicą 2: $3, 5, 7$ $\checkmark$

Zapis symetryczny $(a-r, a, a+r)$ to najlepsza strategia dla trzech wyrazów ciągu arytmetycznego - różnica automatycznie się redukuje przy sumowaniu. Dla czterech wyrazów użyłbyś $(a-3d, a-d, a+d, a+3d)$ z różnicą $2d$. Schemat oceniania CKE za to zadanie przyznaje punkty za: (1) prawidłowe oznaczenia, (2) wyznaczenie $a$, (3) równanie na $r$, (4) rozwiązanie i sprawdzenie. Nawet jeśli pomylisz się na końcu, pierwsze kroki dają ci 2-3 punkty cząstkowe. Więcej o ciągach na maturze.

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Wyznaczenie $h$ i $r$

   Ze stosunku $\frac{h}{r} = \frac{3}{2}$ mamy $h = \frac{3}{2}r$. Podstawiamy do wzoru na objętość stożka:

   $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \frac{3}{2}r = \frac{1}{2}\pi r^3$

   Przyrównujemy do $8\pi$:

   $\frac{1}{2}\pi r^3 = 8\pi$$r^3 = 16$$r = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}$

   Oraz:

   $h = \frac{3}{2}r = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$
2. Krok 2

   Tworząca stożka

   Z twierdzenia Pitagorasa (przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, a trójkąt prostokątny tworzą $r$, $h$ i tworząca $l$):

   $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(2\sqrt[3]{2})^2 + (3\sqrt[3]{2})^2}$$l = \sqrt{4\sqrt[3]{4} + 9\sqrt[3]{4}} = \sqrt{13\sqrt[3]{4}}$$l = \sqrt{13 \cdot 4^{1/3}} = \sqrt{13} \cdot 2^{1/3}$
3. Krok 3

   Pole powierzchni całkowitej

   Wzór:

   $P_c = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$

   Podstawiamy $r = 2\sqrt[3]{2}$ i $l = \sqrt{13} \cdot 2^{1/3} = \sqrt{13} \cdot \sqrt[3]{2}$:

   $P_c = \pi \cdot 2\sqrt[3]{2} \cdot \left(\sqrt{13} \cdot \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2}\right)$$P_c = \pi \cdot 2\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}\left(\sqrt{13} + 2\right)$$P_c = \pi \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \left(\sqrt{13} + 2\right)$$P_c = 2\sqrt[3]{4}\left(\sqrt{13} + 2\right)\pi$

To zadanie wymaga starannych rachunków z pierwiastkami trzeciego stopnia - łatwo się pomylić. Kluczowe etapy: (1) wyznacz $r$ z objętości, (2) oblicz $h$ ze stosunku, (3) policz tworzącą z Pitagorasa, (4) podstaw do wzoru na pole całkowite. Schemat oceniania CKE przyznaje punkty osobno za każdy etap, więc nawet jeśli zatrzymasz się na wyznaczeniu $r$ i $h$, dostajesz 2 punkty. Przeczytaj nasz przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.