Dany jest stożek o objętości 8π, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2π√(73)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oprócz naszkicowania sobie bryły wprowadźmy też oznaczenia, które pozwolą nam odnieść się do stosunku wysokości do promienia podstawy. Niech więc wysokość stożka będzie równa 3x, a promień podstawy 8x. Możemy też zapisać, że H/r=3/8.
Krok 2. Obliczenie wartości x.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość stożka.
V=1/3πr² · H 8π=1/3π · (8x)² · 3x 8π=1/3π · 64x² · 3x 8=64x³ x³=1/8 x=1/2
To oznacza, że:
r=8x=8 · 1/2=4 H=3x=3 · 1/2=3/2
Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa:
r²+H²=l² 4²+(3/2)²=l² 16+9/4=l² l²=64/4+9/4 l²=73/4 l=√(73/4) l=√(73)/2
Krok 4. Obliczenie pole powierzchni bocznej stożka.
P_b=πrl P_b=π · 4 · √(73)/2 P_b=2√(73)π
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.