Rozwiąż równanie (2x+1)/(2x)=(2x+1)/(x+1), gdzie x ≠ -1 i x ≠ 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=-1/2 oraz x=1
Krok 1. Wymnożenie wyrazów "na krzyż".
Rozwiązywanie tego typu równań najprościej jest rozpocząć od wymnażania na krzyż, zatem:
(2x+1)/(2x)=(2x+1)/(x+1) (2x+1) · (x+1)=(2x) · (2x+1)
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz możemy rozwiązać to równanie na dwa sposoby:
I sposób: Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą i jednocześnie dostrzegając, że całość da się zapisać w postaci iloczynowej.
Otrzymamy wtedy:
(2x+1) · (x+1)-(2x) · (2x+1)=0 (2x+1)(x+1-2x)=0 (2x+1)(-x+1)=0 2x+1=0 -x+1=0 x=-1/2 x=1
II sposób: Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy i rozwiązując powstałe równanie kwadratowe.
2x²+2x+x+1=4x²+2x -2x²+x+1=0
Współczynniki: a=-2, b=1, c=1
Δ=b²-4ac=1²-4 · (-2) · 1=1-(-8)=1+8=9 √(Δ)=√(9)=3
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-1-3)/(2 · (-2))=-4/-4=1 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-1+3)/(2 · (-2))=2/-4=-1/2
Krok 3. Sprawdzenie, czy rozwiązania nie wykluczają się z założeniami.
Na koniec jeszcze sprawdzamy, czy nasze rozwiązania nie wykluczają się z założeniami z treści zadania. To wbrew pozorom ważny punkt, bo czasem może być tak, że dane rozwiązanie trzeba będzie odrzucić. W naszym przypadku niczego odrzucać nie musimy, tak więc ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:
x=-1/2 x=1
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.