Dane są proste o równaniach y=x+2 oraz y=-3x+b, które przecinają się w punkcie leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 8/3
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Jedna z tych prostych jest rosnąca (bo ma dodatni współczynnik kierunkowy a=1), a druga jest malejąca (bo jej współczynnik kierunkowy a=-3). Bardzo ważną informacją jest to, że te dwie proste przecinają się w punkcie P=(0,2). To automatycznie oznacza, że obydwie proste mają współczynnik b=2.
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych x₁ oraz x₂.
Obliczmy sobie miejsca w których te dwie proste przecinają się z osią Ox (czyli miejsca zerowe). Znajomość tych współrzędnych przyda nam się do wyznaczania długości podstawy trójkąta. Aby obliczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać x+2 oraz -3x+2 do zera, zatem:
I prosta: x₁+2=0 ⇒ x₁=-2
II prosta: -3x₂+2=0 ⇒ x₂=2/3
Krok 3. Obliczenie długości podstawy trójkąta.
Za pomocą obliczonych przed chwilą współrzędnych możemy określić długość podstawy trójkąta:
a=|x₂-x₁|=|2/3-(-2)|=2 2/3
Krok 4. Obliczenie pola trójkąta.
Wysokość trójkąta znamy, bo pokrywa się ona z osią Oy, a więc bez problemu możemy określić że h=2. Długość podstawy obliczyliśmy sobie przed chwilą i wyszło, że a=2 2/3. Zatem pole tego trójkąta jest równe:
P=1/2 · a · h P=1/2 · 2 2/3 · 2 P=2 2/3
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.