Dana jest funkcja y=f(x), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku. Ta funkcja jest określona dla x ∈ [-3,5]. Funkcje g oraz h są określone za pomocą funkcji f następująco: y=g(x)=f(x+2) y=h(x)=f(-x) Na rysunkach A–F przedstawiono wykresy różnych funkcji – w tym wykresy funkcji g oraz h. Każdej z funkcji y=g(x) oraz y=h(x) przyporządkuj jej wykres. Wpisz obok symboli funkcji w tabeli poniżej właściwe odpowiedzi wybrane spośród A–F.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D,B
# Analiza przekształceń funkcji
## Funkcja g(x) = f(x+2)
Przekształcenie f(x+2) oznacza przesunięcie wykresu w lewo o 2 jednostki.
Uzasadnienie: - Gdy podstawiamy x+2 zamiast x, funkcja osiąga tę samą wartość dla argumentu mniejszego o 2 - Np. jeśli f(0) = a, to g(-2) = f(-2+2) = f(0) = a - Każdy punkt (x₀, y₀) z wykresu f przechodzi na punkt (x₀-2, y₀) na wykresie g
Dziedzina funkcji g: - Funkcja f jest określona dla x ∈ [-3, 5] - Funkcja g(x) = f(x+2) jest określona gdy x+2 ∈ [-3, 5] - Stąd: x ∈ [-5, 3]
Kluczowe punkty przekształcenia: - Jeśli wykres f zaczyna się w x = -3, to wykres g zaczyna się w x = -5 - Jeśli wykres f kończy się w x = 5, to wykres g kończy się w x = 3
Odpowiedź: D – wykres przesunięty w lewo o 2 jednostki
## Funkcja h(x) = f(-x)
Przekształcenie f(-x) oznacza symetrię względem osi OY.
Uzasadnienie: - Zamiana x na -x powoduje odbicie lustrzane względem osi y - Jeśli f(a) = b, to h(-a) = f(-(-a)) = f(a) = b - Każdy punkt (x₀, y₀) z wykresu f przechodzi na punkt (-x₀, y₀) na wykresie h
Dziedzina funkcji h: - Funkcja f jest określona dla x ∈ [-3, 5] - Funkcja h(x) = f(-x) jest określona gdy -x ∈ [-3, 5] - Stąd: x ∈ [-5, 3]
Kluczowe punkty przekształcenia: - Jeśli wykres f zaczyna się w x = -3, to wykres h ma odpowiadający punkt w x = 3 - Jeśli wykres f kończy się w x = 5, to wykres h ma odpowiadający punkt w x = -5 - Wykres jest "odbity" jak w lustrze względem osi y
Odpowiedź: B – wykres symetryczny względem osi OY
## Odpowiedź końcowa:
| Funkcja | Wykres | |---------|--------| | y = g(x) | D | | y = h(x) | B |
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.