Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne a i b takie, że obie są niepodzielne przez 3. Udowodnij, że liczba a³+b³ jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Skoro a i b to kolejne liczby naturalne niepodzielne przez 3, to musimy przeanalizować możliwe reszty z dzielenia przez 3.
Krok 1: Analiza reszt modulo 3
Każda liczba naturalna przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0, 1 lub 2.
Ponieważ a i b są niepodzielne przez 3, to: - a ≡ 1 3 lub a ≡ 2 3 - b ≡ 1 3 lub b ≡ 2 3
Krok 2: Warunek kolejności
Skoro a i b są kolejnymi liczbami naturalnymi niepodzielnych przez 3, to b = a + 1 lub b = a + 2.
Przypadek b = a + 1 jest niemożliwy, bo wtedy jedna z nich byłaby podzielna przez 3 (liczby kolejne n, n+1, n+2 zawierają dokładnie jedną liczbę podzielną przez 3).
Zatem b = a + 2.
Krok 3: Ustalenie reszt
Skoro b = a + 2 i obie są niepodzielne przez 3: - Jeśli a ≡ 1 3, to b ≡ 0 3 — sprzeczność - Jeśli a ≡ 2 3, to b ≡ 1 3 — pasuje!
Więc: a ≡ 2 3 i b ≡ 1 3.
Krok 4: Zapis liczb
Zapiszmy: a = 3k + 2 oraz b = 3k + 4 = 3(k+1) + 1
dla pewnego k ∈ N ∪ {0}.
Krok 5: Obliczenie a³ + b³
a³ = (3k + 2)³ = 27k³ + 54k² + 36k + 8
b³ = (3k + 4)³ = 27k³ + 108k² + 144k + 64
a³ + b³ = 54k³ + 162k² + 180k + 72
Krok 6: Wyciągnięcie wspólnego czynnika
a³ + b³ = 18(3k³ + 9k² + 10k + 4)
Ponieważ 18 = 2 · 9, mamy: a³ + b³ = 9 · 2(3k³ + 9k² + 10k + 4)
Wniosek:
Liczba a³ + b³ jest podzielna przez 9, co kończy dowód.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.