🔢 Liczby rzeczywiste

Dany jest zbiór $A=\{1,2,...,2n,2n+1\}$, gdzie $n\ge 1$, złożony z $2n+1$ kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że l...

Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od $1000$ i niepodzielnych przez $3$.

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $20n^2+30n+7$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$.

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne $a$ i $b$ takie, że obie są niepodzielne przez $3$. Udowodnij, że liczba...

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $(3 n+5)^2+11 n^2-18$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę...

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne $a$ i $b$ takie, że $a\lt b$ oraz obie są niepodzielne przez $3$. Udowodn...

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $n\left(n^2+3 n+2\right)$ jest podzielna przez $6$.

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru $\{0,1,2,3\}$.

Udowodnij, że jeśli: a) $x, y$ są liczbami rzeczywistymi, to $x^2 + y^2 \ge 2xy$. b) $x, y, z$ są liczbami rzeczyw...

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez $6$ lub przez $10$, jest

Uczeń przeczytał książkę liczącą $480$ stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każde...

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od $5$ jest

Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa

Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła $120$ złotych....

Wykaż, że liczba $(1+2013^2)(1+2013^4)$ jest dzielnikiem liczby: $1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7$.

Do pewnej liczby $a$ dodano $54$. Otrzymaną sumę podzielono przez $2$. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dw...

Słoń waży $5$ ton, a waga mrówki jest równa $0{,}5$ grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?

Liczba $\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}$ jest równa

Liczba $|9-2|-|4-7|$ jest równa

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez $8$ jest równa $6$.

Na rysunku przedstawiony jest przedział $(-10,k\rangle$, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowi...

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry $0$ i $2$, jest...

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$, które spełniają warunek: $\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3$.

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez $6$ jest

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^2+7k-2$ przez $7$ jest równa $5$.

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na licz...

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby ca...

Udowodnij, że każda liczba całkowita $k$, która przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $2$ ma tę własność, że...

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry $0$, $2$, $5$, jest

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez $5$ jest

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $(2n+1)^2-1$ jest podzielna przez $8$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^{2}+21n$ jest podzielna przez 14.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $3n^2+4n+1$ jest podzielna przez $4$.

Liczby $x$ oraz $y$ są całkowite i dodatnie. W wyniku dzielenia liczby $x$ przez liczbę $y$ otrzymano iloraz...

Wykaż, że liczba $2501^4-2499^4$ jest podzielna przez $10000$.

Wielkości $x$ oraz $y$ zestawione w tabeli poniżej są odwrotnie proporcjonalne. $x$ 18 24 $y$ 9 $a$ Dokończ zd...

Ekipa złożona z $25$ pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu $156$ dni. Jeśli wymianę toró...

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez $3$, to jej kwadrat przy dzieleniu przez $3$ daje res...

Liczba $0{,}(70)$ jest równa liczbie

Liczba $10$ jest przybliżeniem z nadmiarem liczby $a$. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy $0{,}4$. Błąd...

Wszystkich liczb trzycyfrowych parzystych, których cyfra jedności należy do zbioru $A=\{2, 4, 5, 7\}$, cyfra dziesiąte...

Udowodnij, że reszta z dzielenia liczby $34429^3$ przez $17$ jest równa $13$.

Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o $10$ dni od pracownika niewykwalifikowanego...

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $2$, oraz dla każdej liczby...

Suma liczby odwrotnej do liczby $-4\frac{3}{5}$ i liczby przeciwnej do liczby $\frac{18}{23}$ jest równa:

Jeśli $A=(-\infty,0)$ i $B=\langle 0,5 \rangle$ to różnica przedziałów $B$ i $A$ jest równa: \[B\backslash A=?\...

Reszta z dzielenia liczby naturalnej $x$ przez $9$ jest równa $7$. Reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez...

Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista $a$ spełnia warunek $a\lt 1$, to $\frac{1}{1-a}\ge 4a$.

Wykaż, że jeżeli liczby $a$ i $b$ są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba...

Suma liczb $0{,}3(7)$ i $0{,}(7)$ zapisana w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego to:

W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano $480$ róż do pewnej liczby kartonów. Gdyby jednak do każdego kartonu włożono o...

Sześciu robotników wykonało pewną pracę w ciągu $6$ godzin i $20$ minut. Ośmiu robotników pracujących z taką samą wy...

Liczba $|5 − 2| + |1 − 6|$ jest równa

Uzasadnij, że jeżeli $a$ jest liczbą rzeczywistą różną od zera i $a+\frac{1}{a}=3$ , to $a^2+\frac{1}{a^2}=7$

Liczby rzeczywiste $a, b, c$ spełniają warunki: $a+b=3, b+c=4$ i $c+a=5$ . Wtedy suma $a+b+c$ jest równa

Liczba $\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}$ jest równa

Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa $195$. Najmniejszą z tych liczb jest

Liczba $\frac{|3-9|}{-3}$ jest równa

Liczba $\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}$ jest równa

Liczba $9^9\cdot 81^2$ jest równa

Linę o długości $100$ metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku $3:4:5$. Stąd wynika, że...

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb $x$ spełniających warunek: $11\le 2x-7\le 15$.

Wykaż, że jeżeli $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to...

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry $1, 2, 3$, jest

Liczbą większą od $5$ jest

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej). $x$ $a$ $3$ $8$ $y$ $36$ $24$ $b$...

Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od $1001$ jest równa

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem $1200$ guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn...

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od $300$ o wszystkich cyfrach parzystych jest

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $3n^3+18n^2+15n$ jest podzielna przez $6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisi...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od...