W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano 480 róż do pewnej liczby kartonów. Gdyby jednak do każdego kartonu włożono o 3 róże mniej, to do zapakowania tej samej ilości róż należałoby użyć o 8 kartonów więcej. Do ilu kartonów zapakowano pierwotnie róże i ile róż było w każdym kartonie?
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 15 róż w kartonie i 32 kartony
Oznaczmy zmienne: - x – początkowa liczba kartonów - y – początkowa liczba róż w jednym kartonie
## Krok 1: Zapisanie pierwszego warunku
Zapakowano 480 róż do x kartonów, więc: x · y = 480
## Krok 2: Zapisanie drugiego warunku
Gdyby do każdego kartonu włożono o 3 róże mniej (czyli y - 3 róż), to potrzeba by x + 8 kartonów: (x + 8)(y - 3) = 480
## Krok 3: Przekształcenie drugiego równania
Rozwijamy iloczyn: xy - 3x + 8y - 24 = 480
Ponieważ xy = 480, podstawiamy: 480 - 3x + 8y - 24 = 480
-3x + 8y - 24 = 0
8y = 3x + 24
y = (3x + 24)/8
## Krok 4: Podstawienie do pierwszego równania
Z równania xy = 480 mamy: x · (3x + 24)/8 = 480
x(3x + 24) = 3840
3x² + 24x = 3840
3x² + 24x - 3840 = 0
Dzielimy przez 3: x² + 8x - 1280 = 0
## Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego
Używamy wzoru na deltę: Δ= 64 - 4 · 1 · (-1280) = 64 + 5120 = 5184
√(Δ) = 72
x = (-8 ± 72)/2
Ponieważ x > 0: x = (-8 + 72)/2 = 64/2 = 32
## Krok 6: Obliczenie liczby róż w kartonie
y = 480/32 = 15
## Krok 7: Sprawdzenie
- Pierwotnie: 32 kartony po 15 róż = 480 róż ✓ - Po zmianie: 40 kartonów po 12 róż = 480 róż ✓
Odpowiedź: Pierwotnie zapakowano róże do 32 kartonów, w każdym było po 15 róż.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.