Uzasadnij, że równanie x²+(a-1)x-a=0 dla dowolnej liczby rzeczywistej a ma przynajmniej jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEAby uzasadnić, że równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby rzeczywistej a, należy pokazać, że wyróżnik Δ ≥ 0 dla każdego a ∈ R.
## Krok 1: Identyfikacja współczynników
Równanie kwadratowe x²+(a-1)x-a=0 ma współczynniki: - A = 1 - B = a-1 - C = -a
## Krok 2: Obliczenie wyróżnika
Wyróżnik równania kwadratowego wyraża się wzorem Δ= B² - 4AC.
Δ= (a-1)² - 4 · 1 · (-a)
Δ= (a-1)² + 4a
## Krok 3: Rozwinięcie wyrażenia
Δ= a² - 2a + 1 + 4a
Δ= a² + 2a + 1
## Krok 4: Zauważenie kwadratu sumy
Δ= (a+1)²
## Krok 5: Analiza znaku wyróżnika
Ponieważ Δ= (a+1)², to: - Δ ≥ 0 dla każdego a ∈ R - Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny
## Wniosek
Wyróżnik Δ= (a+1)² ≥ 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej a, co oznacza, że równanie ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste (dwa rozwiązania gdy a ≠ -1 lub jedno podwójne gdy a = -1).
Równanie x²+(a-1)x-a=0 ma przynajmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby rzeczywistej a.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.