Kąt rozwarcia stożka jest równy 30° , a tworząca tego stożka ma długość 8 cm. Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi:
Odpowiedzi do wyboru
- A.64 cm²
- B.32 cm²
- C.16 cm²
- D.16√(3) cm²
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-23.png]
## Analiza danych
- Kąt rozwarcia stożka: 30° - Długość tworzącej: l = 8 cm
Uwaga: Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w przekroju osiowym.
## Przekrój osiowy stożka
Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, w którym: - ramiona to tworzące stożka (obie długości l = 8 cm) - podstawa to średnica podstawy stożka (długość 2r) - kąt przy wierzchołku stożka to kąt rozwarcia = 30°
## Obliczenie wysokości trójkąta (wysokości stożka)
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli kąt przy wierzchołku na pół.
Rozpatrzmy połowę przekroju osiowego - trójkąt prostokątny: - przeciwprostokątna: l = 8 cm (tworząca) - kąt przy wierzchołku: 30°/2 = 15° - wysokość stożka h leży naprzeciw kąta 15°
h = l · sin(15°)
## Obliczenie podstawy trójkąta (średnicy podstawy)
Promień podstawy: r = l · sin(30°/2) = 8 · sin(15°)
Podstawa trójkąta (średnica): d = 2r = 16 · sin(15°)
## Pole przekroju osiowego
Pole trójkąta równoramiennego:
P = 1/2 · d · h = 1/2 · 16sin(15°) · 8sin(15°)
P = 1/2 · 128 · sin²(15°) = 64sin²(15°)
Alternatywnie, używając wzoru na pole trójkąta z boków i kąta między nimi:
P = 1/2 · l · l · sin(30°) = 1/2 · 8 · 8 · sin(30°)
P = 1/2 · 64 · 1/2 = 64/4 = 16 cm²
Odpowiedź: C
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.