Na trójkącie o bokach długości √(5), √(15), √(10) opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: r=√(15)/2
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-27.png]
Dla trójkąta o bokach długości a = √(5), b = √(15), c = √(10) oblicza się promień okręgu opisanego.
## Krok 2: Sprawdzenie warunku trójkąta
Najpierw upewniam się, że można zbudować taki trójkąt. Porównuje się kwadraty boków: - a² = 5 - b² = 15 - c² = 10
Sprawdza się: a² + c² = 5 + 10 = 15 = b²
Zatem trójkąt jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku naprzeciw najdłuższego boku b = √(15).
## Krok 3: Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego znajduje się w środku przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości przeciwprostokątnej.
Zatem: r = b/2 = √(15)/2
## Krok 4: Weryfikacja (opcjonalnie)
Można też użyć ogólnego wzoru r = abc/(4P), gdzie P to pole trójkąta.
Pole trójkąta prostokątnego: P = 1/2 · a · c = 1/2 · √(5) · √(10) = 1/2 · √(50) = 5√(2)/2
Promień okręgu opisanego: r = abc/(4P) = √(5) · √(15) · √(10)/(4 · 5√(2)/2) = √(750)/(10√(2)) = 5√(30)/(10√(2)) = √(30)/(2√(2)) = √(15)/2
Odpowiedź: r = √(15)/2
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.