Sprawdź, czy punkty A=(-2,3), B=(2,5), C=(2√(2),4+√(2)) są współliniowe.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Są współliniowe.
# Sprawdzanie współliniowości punktów
Punkty są współliniowe, gdy leżą na jednej prostej. Sprawdza się to metodą wektorów.
## Metoda wektorowa
Punkty A, B, C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory AB i AC są równoległe, czyli gdy jeden jest wielokrotnością drugiego.
Krok 1: Wyznacza się wektor AB
AB = [2-(-2), 5-3] = [4, 2]
Krok 2: Wyznacza się wektor AC
AC = [2√(2)-(-2), 4+√(2)-3] = [2√(2)+2, 1+√(2)]
Krok 3: Sprawdza się, czy AC = k · AB dla pewnego k ∈ R
Jeśli wektory są równoległe, to: [2√(2)+2, 1+√(2)] = k · [4, 2]
Z pierwszej współrzędnej: 2√(2)+2 = 4k k = (2√(2)+2)/4 = 2(√(2)+1)/4 = (√(2)+1)/2
Krok 4: Weryfikuję z drugiej współrzędnej
Dla k = (√(2)+1)/2 druga współrzędna powinna wynosić: 2k = 2 · (√(2)+1)/2 = √(2)+1
Rzeczywiście, druga współrzędna wektora AC wynosi 1+√(2), co zgadza się.
Wniosek:
Ponieważ AC = (√(2)+1)/2 · AB, wektory są równoległe, a zatem punkty A, B, C są współliniowe.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.