Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r=-4. Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o 3, a trzecią powiększymy o 4, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Ciąg arytmetyczny: (13, 9, 5), ciąg geometryczny (16, 12, 9).
## Krok 1: Zapisanie trzech liczb ciągu arytmetycznego
Niech pierwsze trzy liczby ciągu arytmetycznego to a₁, a₂, a₃.
Ponieważ różnica r = -4, to: - a₁ = a₁ - a₂ = a₁ + r = a₁ - 4 - a₃ = a₁ + 2r = a₁ - 8
## Krok 2: Zapisanie warunków dla ciągu geometrycznego
Po zwiększeniu liczb otrzymujemy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: - b₁ = a₁ + 3 - b₂ = a₂ + 3 = (a₁ - 4) + 3 = a₁ - 1 - b₃ = a₃ + 4 = (a₁ - 8) + 4 = a₁ - 4
## Krok 3: Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego
W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, czyli:
b₂/b₁ = b₃/b₂
Można też zapisać warunek: b₂² = b₁ · b₃
Podstawiając nasze wyrażenia:
(a₁ - 1)² = (a₁ + 3)(a₁ - 4)
## Krok 4: Rozwiązanie równania
Rozwijamy obie strony:
a₁² - 2a₁ + 1 = a₁² - 4a₁ + 3a₁ - 12
a₁² - 2a₁ + 1 = a₁² - a₁ - 12
Odejmujemy a₁² od obu stron:
-2a₁ + 1 = -a₁ - 12
-2a₁ + a₁ = -12 - 1
-a₁ = -13
a₁ = 13
## Krok 5: Obliczenie wszystkich liczb
Ciąg arytmetyczny: - a₁ = 13 - a₂ = 13 - 4 = 9 - a₃ = 13 - 8 = 5
Ciąg geometryczny: - b₁ = 13 + 3 = 16 - b₂ = 9 + 3 = 12 - b₃ = 5 + 4 = 9
## Krok 6: Sprawdzenie
Ciąg arytmetyczny (13, 9, 5): różnice 9-13=-4, 5-9=-4 ✓
Ciąg geometryczny (16, 12, 9): ilorazy 12/16=3/4, 9/12=3/4 ✓
Odpowiedź: Ciąg arytmetyczny: (13, 9, 5), ciąg geometryczny: (16, 12, 9)
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.