Przekątna sześcianu ma długość 6 cm. Objętość tego sześcianu jest równa:
Odpowiedzi do wyboru
- A.24√(3) cm³
- B.24 cm³
- C.72√(3) cm³
- D.72 cm³
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-22.png]
Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a.
Krok 2: Znajdźmy zależność między przekątną sześcianu a długością krawędzi
Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki (np. od dolnego rogu do górnego rogu po przeciwnej stronie).
Aby ją obliczyć, najpierw znajdujemy przekątną podstawy (kwadratu) korzystając z tw. Pitagorasa: d_(podstawy) = √(a² + a²) = √(2a²) = a√(2)
Następnie przekątna sześcianu tworzy trójkąt prostokątny z: - przekątną podstawy a√(2) (przyprostokątna) - wysokością sześcianu a (przyprostokątna) - przekątną sześcianu d (przeciwprostokątna)
Krok 3: Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa
d² = (a√(2))² + a²
d² = 2a² + a² = 3a²
d = a√(3)
Krok 4: Obliczmy długość krawędzi
Wiemy, że d = 6 cm, więc: 6 = a√(3)
a = 6/√(3) = 6√(3)/3 = 2√(3) cm
Krok 5: Obliczmy objętość sześcianu
V = a³ = (2√(3))³
V = 2³ · (√(3))³ = 8 · √(3³) = 8 · √(27)
V = 8 · 3√(3) = 24√(3) cm³
Odpowiedź: A
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.