Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat, a spodek F wysokości EF ostrosłupa jest środkiem krawędzi AD (patrz rysunek). Ponadto wiadomo, że każda z dwóch dłuższych krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12√(5) cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60° . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 288√(15)
Oznaczmy bok kwadratu jako a i ustalmy układ współrzędnych.
## Krok 1: Ustalenie układu współrzędnych
Umieśćmy kwadrat ABCD w płaszczyźnie xy tak, że: - A = (0, 0, 0) - D = (a, 0, 0) - B = (0, a, 0) - C = (a, a, 0)
Punkt F (środek AD) ma współrzędne: F = (a/2, 0, 0)
Wierzchołek E leży na wysokości nad punktem F: E = (a/2, 0, h)
gdzie h to wysokość ostrosłupa.
## Krok 2: Identyfikacja dłuższych krawędzi bocznych
Obliczmy długości krawędzi bocznych:
|EA| = √((a/2)² + 0² + h²) = √(a²/4 + h²)
|ED| = √((a/2)² + 0² + h²) = √(a²/4 + h²)
|EB| = √((a/2)² + a² + h²) = √(a²/4 + a² + h²) = √(5a²/4 + h²)
|EC| = √((a/2)² + a² + h²) = √(5a²/4 + h²)
Dłuższe krawędzie to EB i EC, więc: |EB| = |EC| = 12√(5)
## Krok 3: Wyznaczenie kąta nachylenia
Kąt nachylenia krawędzi EB do płaszczyzny podstawy to kąt ∠EBF', gdzie F' jest rzutem E na podstawę, czyli F' = F = (a/2, 0, 0).
Rzut krawędzi EB na podstawę to odcinek F'B: |F'B| = √((a/2)² + a²) = √(a²/4 + a²) = √(5a²/4) = a√(5)/2
Z warunku kąta nachylenia 60°: tan(60°) = h/|F'B| = h/(a√(5)/2)
√(3) = 2h/a√(5)
h = a√(15)/2
## Krok 4: Wyznaczenie boku kwadratu
Z warunku |EB| = 12√(5): √(5a²/4 + h²) = 12√(5)
Podstawiając h = a√(15)/2: √(5a²/4 + 15a²/4) = 12√(5)
√(20a²/4) = 12√(5)
√(5a²) = 12√(5)
a√(5) = 12√(5)
a = 12
## Krok 5: Obliczenie wysokości
h = a√(15)/2 = 12√(15)/2 = 6√(15)
## Krok 6: Obliczenie objętości
V = 1/3 · P_(podstawy) · h = 1/3 · a² · h
V = 1/3 · 144 · 6√(15) = 864√(15)/3 = 288√(15) cm³
Odpowiedź: 288√(15) cm³
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.