Szósty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:
Odpowiedzi do wyboru
- A.0
- B.5
- C.11
- D.-11
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Ciąg arytmetyczny ma wzór ogólny: a_n = a₁ + (n-1)r gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a r to różnica ciągu.
## Krok 1: Wykorzystanie informacji o szóstym wyrazie
Wiemy, że a₆ = 0, więc: a₆ = a₁ + 5r = 0
Stąd: a₁ = -5r
## Krok 2: Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego
Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego: S_n = n(a₁ + a_n)/2
lub w alternatywnej postaci: S_n = n[2a₁ + (n-1)r]/2
## Krok 3: Obliczenie sumy jedenastu wyrazów
Dla n = 11: S₁₁ = 11(a₁ + a₁₁)/2
Obliczmy a₁₁: a₁₁ = a₁ + 10r = -5r + 10r = 5r
Więc: S₁₁ = 11(a₁ + a₁₁)/2 = 11(-5r + 5r)/2 = 11 · 0/2 = 0
## Alternatywne uzasadnienie
Można też zauważyć, że w ciągu arytmetycznym suma wyrazów równoodległych od końców jest stała: - a₁ + a₁₁ = 2a₆ (wyraz środkowy dla 11 wyrazów)
Ponieważ a₆ = 0, to: S₁₁ = 11 · a₆ = 11 · 0 = 0
Odpowiedź: A
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.