Bok trójkąta równobocznego ma długość 8 cm. Odległość środka ciężkości tego trójkąta od jego boków jest równa:
Odpowiedzi do wyboru
- A.2 2/3 cm
- B.4√(3)/3 cm
- C.8√(3)/3 cm
- D.4√(3) cm
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-20.png]
Oznaczmy bok trójkąta równobocznego jako a = 8 cm.
Krok 2: Wzór na wysokość trójkąta równobocznego
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a wynosi: h = a√(3)/2
Dla a = 8: h = 8√(3)/2 = 4√(3) cm
Krok 3: Własność środka ciężkości
Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą środkową (która w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością) w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.
Odległość środka ciężkości od podstawy wynosi: d = 1/3 h
Krok 4: Obliczenie odległości od boku
d = 1/3 · 4√(3) = 4√(3)/3 cm
Krok 5: Sprawdzenie dla wszystkich boków
Ze względu na symetrię trójkąta równobocznego, środek ciężkości jest równoodległy od wszystkich trzech boków. Każda z tych odległości wynosi 4√(3)/3 cm.
Dodatkowa weryfikacja:
Możemy to sprawdzić inaczej: promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi: r = a√(3)/6 = 8√(3)/6 = 4√(3)/3 cm
Środek ciężkości trójkąta równobocznego pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego, więc odległość środka ciężkości od boków równa jest promieniowi okręgu wpisanego.
Odpowiedź: B
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.