Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa 1. Oblicz długość przekątnej tego kwadratu. Wynik zapisz w postaci a+b√(c).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2-√(2)
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-30.png]
Oznaczmy długość boku kwadratu przez a, a długość przekątnej przez d.
Krok 2: Związek między bokiem a przekątną kwadratu
Z twierdzenia Pitagorasa dla kwadratu o boku a: d² = a² + a² = 2a² d = a√(2)
Krok 3: Wykorzystanie warunku zadania
Z treści zadania wiemy, że: a + d = 1
Podstawiamy d = a√(2): a + a√(2) = 1 a(1 + √(2)) = 1 a = 1/(1 + √(2))
Krok 4: Wymiernianie mianownika
Mnożymy licznik i mianownik przez 1 - √(2): a = 1/(1 + √(2)) · (1 - √(2))/(1 - √(2)) = (1 - √(2))/(1 - 2) = (1 - √(2))/-1 = -1 + √(2)
Krok 5: Obliczenie długości przekątnej
d = a√(2) = (-1 + √(2)) · √(2) d = -√(2) + √(2) · √(2) d = -√(2) + 2 d = 2 - √(2)
Krok 6: Zapisanie w postaci a + b√(c)
d = 2 + (-1)√(2)
gdzie a = 2, b = -1, c = 2.
Odpowiedź: 2 - √(2)
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.