Zadania CKE - potęgi i pierwiastki z rozwiązaniami krok po kroku

Rozwiązanie:

Klucz to wspólna podstawa. Zapisujemy $9=3^2$, więc $9^{90}=(3^2)^{90}=3^{180}$. Teraz mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki: $3^{30}\cdot 3^{180}=3^{210}$. Gdy widzisz różne podstawy będące potęgami tej samej liczby, zawsze sprowadzaj do wspólnej podstawy. Odpowiedź C to pułapka: $9^{120}=3^{240}$, a nie $3^{210}$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Zamieniamy pierwiastek na potęgę o wykładniku ułamkowym: $\sqrt[3]{9^2}=(9^2)^{\frac{1}{3}}=(3^4)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{4}{3}}$. Mnożymy: $3^{\frac{8}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}=3^{\frac{12}{3}}=3^4$. Pierwiastki to po prostu potęgi o wykładniku ułamkowym i to jest najważniejsza intuicja w tym dziale.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na iloczyn pierwiastków tego samego stopnia: $\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{-16}=\sqrt[3]{4\cdot(-16)}=\sqrt[3]{-64}=-4$. Teraz dzielimy: $\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}=2^{-1}$. Cały trik polega na tym, żeby zamiast liczyć każdy pierwiastek osobno, połączyć je pod jednym pierwiastkiem.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Najpierw upraszczamy drugi czynnik: $\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{4}{3}}=8^{\frac{4}{3}}=(2^3)^{\frac{4}{3}}=2^4=16$. Pierwszy czynnik zapisujemy jako potęgę dwójki: $2\sqrt{2}=2^1\cdot 2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}$. Mnożymy: $2^{\frac{3}{2}}\cdot 2^4=2^{\frac{11}{2}}$. Odwrotność liczby to ta liczba w potędze minus jeden: $\left(2^{\frac{11}{2}}\right)^{-1}=2^{-\frac{11}{2}}=\frac{1}{32\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{64}$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Sprowadzamy wszystko do podstawy 3: $9^{22}=(3^2)^{22}=3^{44}$ oraz $27^{14}=(3^3)^{14}=3^{42}$. Mamy więc sumę $3^{45}+3^{44}+3^{42}$. Wyłączamy najmniejszą potęgę, czyli $3^{42}$:

Skoro liczba jest iloczynem $3^{42}$ i 37, to dzieli się przez 37. Koniec dowodu. W zadaniach dowodowych z potęg prawie zawsze chodzi o wyłączenie wspólnego czynnika - to schemat, który warto zapamiętać.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Najpierw dwie szybkie wartości. Ze wzoru na różnicę kwadratów $a\cdot b=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=5-4=1$, a różnica to $a-b=(\sqrt{5}-2)-(\sqrt{5}+2)=-4$. Obie liczby są dodatnie, bo $\sqrt{5}>2$, więc $\sqrt{a}$ i $\sqrt{b}$ istnieją.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:

W mianowniku znowu stoi różnica kwadratów: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b=-4$. Po skróceniu przez $a-b$ zostaje $a\cdot b=1$. Nie trzeba liczyć $\sqrt{\sqrt{5}-2}$: całą robotę wykonuje wzór na różnicę kwadratów, użyty dwa razy.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze