Zadania CKE - potęgi i pierwiastki z rozwiązaniami krok po kroku

Potęgi i pierwiastki to dział, który na maturze pojawia się zawsze i prawie zawsze daje łatwe punkty, pod warunkiem że znasz reguły działań. To też dział, który wraca w innych zadaniach: w funkcji wykładniczej, logarytmach czy przy upraszczaniu wyrażeń w geometrii. Dlatego warto mieć go opanowany do automatu. Na sprawnamatura.pl masz 157 zadań CKE z tego działu z rozwiązaniami krok po kroku. Ta strona to przewodnik po nich: pokazuje typy zadań, wzory i sześć rozwiązanych przykładów z prawdziwych arkuszy.

Co musisz znać przed zadaniami

Cała zabawa opiera się na kilku wzorach. Bez nich ani rusz:

Do tego pierwiastki: $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ oraz $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Wszystkie te wzory masz na karcie wzorów CKE, ale na egzaminie nie ma czasu szukać, więc lepiej znać je z głowy. Solidne podstawy z liczb znajdziesz w przewodniku o liczbach rzeczywistych.

Jakie typy zadań spotkasz

W bazie CKE zadania z potęg i pierwiastków dzielą się na kilka powtarzalnych typów. Oto one wraz z tym, czego wymagają:

Z 157 zadań w bazie aż 128 to zadania zamknięte, czyli najszybsze punkty na egzaminie, a 29 to zadania otwarte, w tym dowody. Poniżej rozwiązujemy po jednym z najważniejszych typów.

Rozwiązane zadania krok po kroku

Zadanie 5

Udowodnij, że liczba $3^{45}+9^{22}+27^{14}$ jest podzielna przez 37.

Sprowadzamy wszystko do podstawy 3: $9^{22}=(3^2)^{22}=3^{44}$ oraz $27^{14}=(3^3)^{14}=3^{42}$. Mamy więc sumę $3^{45}+3^{44}+3^{42}$. Wyłączamy najmniejszą potęgę, czyli $3^{42}$:

Skoro liczba jest iloczynem $3^{42}$ i 37, to dzieli się przez 37. Koniec dowodu. W zadaniach dowodowych z potęg prawie zawsze chodzi o wyłączenie wspólnego czynnika - to schemat, który warto zapamiętać.

Typowe pułapki

Pierwsza: mylenie $a^{-n}$ z liczbą ujemną. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, nie znak minus. $2^{-3}=\frac{1}{8}$, a nie $-8$.

Druga: błędne dodawanie wykładników przy różnych podstawach. $2^3\cdot 3^2$ to nie $6^5$. Wzór na dodawanie wykładników działa tylko przy tej samej podstawie.

Trzecia: zapominanie, że $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie zawsze $a$. Na maturze ta wartość bezwzględna potrafi zdecydować o punkcie.

Czwarta: gubienie się w ułamkowych wykładnikach. Zamień każdy pierwiastek na potęgę od razu na początku, a rachunki staną się czystym dodawaniem ułamków.

Gdzie ćwiczyć więcej

Sześć przykładów to za mało, żeby wbić schematy do głowy. W bazie czeka na ciebie 157 zadań CKE z tego działu, od jednopunktowych zamkniętych po dowody za 5 punktów. Wejdź na przewodnik po dziale potęgi i pierwiastki i rozwiązuj zadanie po zadaniu, a po każdym sprawdzaj rozwiązanie krok po kroku. Jeśli wolisz losową kolejność, włącz tryb losowych zadań i licz, aż reguły wejdą w krew. Postępy w tym dziale podejrzysz w panelu postępów.

Gdy potęgi masz już opanowane, naturalnym kolejnym krokiem są funkcja wykładnicza i logarytmy, bo oba działy stoją dokładnie na tych samych wzorach. A jeśli dopiero układasz plan nauki na cały rok, zerknij do przewodnika jak zacząć przygotowania do matury z matematyki 2027.

FAQ