Notacja wykładnicza - jak zapisać liczbę i zadania maturalne

Notacja wykładnicza (inaczej postać wykładnicza lub notacja naukowa) to zapis liczby w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie mantysa $a$ spełnia warunek $1 \le a < 10$, a wykładnik $k$ jest liczbą całkowitą. Dużą liczbę zapisujesz z dodatnim wykładnikiem, np. $34\,500\,000 = 3{,}45 \cdot 10^7$, a małą liczbę dodatnią z ujemnym, np. $0{,}00072 = 7{,}2 \cdot 10^{-4}$. Wykładnik mówi, o ile miejsc trzeba przesunąć przecinek, żeby wrócić do zwykłego zapisu.

Na maturze podstawowej notacja wykładnicza pojawia się w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, zwykle w dziale potęgi i pierwiastki. CKE lubi łączyć ją z działaniami na potęgach: mnożeniem, dzieleniem i potęgowaniem liczb zapisanych wykładniczo. W tym poście przechodzisz cały temat od zera: zapis liczby, działania, rozwiązane zadania w stylu maturalnym i pułapki, na których najłatwiej stracić punkt.

Co to jest notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to sposób zapisu liczby jako iloczynu $a \cdot 10^k$, gdzie $1 \le a < 10$, a $k$ jest liczbą całkowitą (dodatnią, ujemną albo zerem). Dzięki temu bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujesz krótko, bez liczenia zer i bez ryzyka pomyłki o jedno miejsce.

Dwa przykłady z realnego świata:

• •odległość Ziemi od Słońca to około $149\,600\,000$ km, czyli $1{,}496 \cdot 10^8$ km,
• •masa elektronu to około $9{,}1 \cdot 10^{-31}$ kg.

Warunek $1 \le a < 10$ jest kluczowy. Zapis $34{,}5 \cdot 10^6$ przedstawia tę samą liczbę co $3{,}45 \cdot 10^7$, ale tylko drugi jest notacją wykładniczą, bo $34{,}5 \ge 10$. W zadaniach zamkniętych wśród odpowiedzi często czeka właśnie taka "prawie dobra" wersja i to jest klasyczna pułapka.

Zanim przejdziesz dalej, przypomnij sobie, jak działają potęgi dziesiątki:

• •$10^3 = 1000$, $10^1 = 10$, $10^0 = 1$,
• •$10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-3} = 0{,}001$.

Wykładnik dodatni oznacza mnożenie przez 10 odpowiednią liczbę razy, a ujemny dzielenie przez 10. Jeśli potęgi o wykładniku ujemnym sprawiają ci problem, nadrób je w poście o potęgach o wykładniku ujemnym i wymiernym.

Jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej

Przesuwasz przecinek tak, żeby przed nim została dokładnie jedna cyfra od 1 do 9, i liczysz przesunięcia. Liczba przesunięć to wartość wykładnika: dodatni, gdy wyjściowa liczba była większa lub równa 10 (przecinek szedł w lewo), ujemny, gdy była mniejsza od 1 (przecinek szedł w prawo).

Krok 1: znajdź pierwszą niezerową cyfrę i postaw za nią przecinek. Tak powstaje mantysa $a$.

Krok 2: policz, o ile miejsc przesunął się przecinek względem oryginalnego zapisu.

Krok 3: ustal znak wykładnika. Liczba większa lub równa 10: wykładnik dodatni. Liczba z przedziału $(0, 1)$: wykładnik ujemny. Liczba z przedziału $[1, 10)$: wykładnik zero, bo $10^0 = 1$.

Przykład dużej liczby: $6\,700\,000$. Przecinek przesuwasz o 6 miejsc w lewo, więc $6\,700\,000 = 6{,}7 \cdot 10^6$.

Przykład małej liczby: $0{,}00305$. Przecinek przesuwasz o 3 miejsca w prawo, tuż za pierwszą niezerową cyfrę, więc $0{,}00305 = 3{,}05 \cdot 10^{-3}$.

Działania na liczbach w notacji wykładniczej

Przy mnożeniu mnożysz mantysy i dodajesz wykładniki, przy dzieleniu dzielisz mantysy i odejmujesz wykładniki, a przy potęgowaniu potęgujesz mantysę i mnożysz wykładniki. To zwykłe wzory działań na potęgach zastosowane do podstawy 10:

$(a \cdot 10^m) \cdot (b \cdot 10^n) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}$ $\frac{a \cdot 10^m}{b \cdot 10^n} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m-n}$ $(a \cdot 10^m)^n = a^n \cdot 10^{m \cdot n}$

Po wykonaniu działania zawsze sprawdź, czy mantysa wyniku nadal spełnia warunek $1 \le a < 10$. Jeśli nie, popraw zapis: np. $70 \cdot 10^{-4} = 7 \cdot 10^{-3}$, a $0{,}5 \cdot 10^8 = 5 \cdot 10^7$.

Przy dodawaniu i odejmowaniu nie ma skrótu: najpierw sprowadzasz obie liczby do tej samej potęgi dziesiątki (albo do zwykłego zapisu), dopiero potem dodajesz lub odejmujesz mantysy.

Rozwiązane zadania w stylu maturalnym

Zadanie 1: zapis dużej liczby

Zapisz liczbę $34\,500\,000$ w notacji wykładniczej.

Krok 1: znajdź mantysę. Pierwsza cyfra to 3, więc przecinek stawiasz zaraz po niej: $a = 3{,}45$.

Krok 2: policz przesunięcia przecinka. Od $34\,500\,000$ do $3{,}45$ przecinek przesuwa się o 7 miejsc w lewo.

Krok 3: zapisz wynik. Liczba wyjściowa jest większa od 10, więc wykładnik jest dodatni: $34\,500\,000 = 3{,}45 \cdot 10^7$.

Zadanie 2: zapis małej liczby

Zapisz liczbę $0{,}00072$ w notacji wykładniczej.

Krok 1: znajdź pierwszą niezerową cyfrę. To 7, więc mantysa to $7{,}2$.

Krok 2: policz przesunięcia. Przecinek przesuwa się o 4 miejsca w prawo.

Krok 3: zapisz wynik z ujemnym wykładnikiem. $0{,}00072 = 7{,}2 \cdot 10^{-4}$. Zwróć uwagę: zer po przecinku są trzy, ale przesunięcia cztery, bo liczysz miejsca do pozycji za cyfrą 7.

Zadanie 3: mnożenie w notacji wykładniczej

Oblicz $(2 \cdot 10^5) \cdot (3{,}5 \cdot 10^{-8})$ i zapisz wynik w notacji wykładniczej.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   pomnóż mantysy

   $2 \cdot 3{,}5 = 7$.

2. Krok 2

   dodaj wykładniki

   $10^5 \cdot 10^{-8} = 10^{5 + (-8)} = 10^{-3}$.

3. Krok 3

   sprawdź warunek mantysy

   Zachodzi $1 \le 7 < 10$, więc wynik to $7 \cdot 10^{-3}$, czyli $0{,}007$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 4: dzielenie i kontrola zapisu

Oblicz $\frac{8 \cdot 10^{-6}}{4 \cdot 10^{3}}$ i zapisz wynik w notacji wykładniczej.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   podziel mantysy

   $8 : 4 = 2$.

2. Krok 2

   odejmij wykładniki

   $10^{-6} : 10^{3} = 10^{-6-3} = 10^{-9}$.

3. Krok 3

   zapisz wynik

   $2 \cdot 10^{-9}$. Mantysa mieści się w przedziale $[1, 10)$, więc zapis jest już poprawny.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 5: potęgowanie i porównywanie liczb

Która liczba jest większa: $x = (2{,}5 \cdot 10^6)^2$ czy $y = 6 \cdot 10^{12}$?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   podnieś mantysę do kwadratu i podwój wykładnik

   $x = 2{,}5^2 \cdot 10^{6 \cdot 2} = 6{,}25 \cdot 10^{12}$.

2. Krok 2

   porównaj liczby o tej samej potędze dziesiątki

   Obie mają czynnik $10^{12}$, więc wystarczy porównać mantysy: $6{,}25 > 6$.

3. Krok 3

   zapisz wniosek

   $x > y$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 6: zadanie praktyczne z fizycznym kontekstem

Światło porusza się z prędkością około $3 \cdot 10^8$ m/s. Jaką drogę pokona w ciągu 5 minut? Wynik podaj w notacji wykładniczej.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   zamień czas na sekundy

   $5 \cdot 60 = 300$ s, czyli $3 \cdot 10^2$ s.

2. Krok 2

   skorzystaj ze wzoru na drogę

   $s = v \cdot t = (3 \cdot 10^8) \cdot (3 \cdot 10^2)$.

3. Krok 3

   pomnóż mantysy i dodaj wykładniki

   $s = 9 \cdot 10^{10}$ m. Mantysa 9 jest w przedziale $[1, 10)$, więc to gotowa odpowiedź: światło pokona $9 \cdot 10^{10}$ metrów, czyli 90 miliardów metrów.

   Chcesz więcej praktyki na realnych zadaniach CKE? Przerób zadania CKE z potęg i pierwiastków z pełnymi rozwiązaniami albo zacznij od pojedynczego zadania z potęg z arkusza CKE i sprawdź się bez podglądania.

Wylosuj podobne zadanie

Typowe pułapki

• •Mantysa poza przedziałem. Zapis $45 \cdot 10^3$ nie jest notacją wykładniczą, choć wartość się zgadza. Poprawna postać to $4{,}5 \cdot 10^4$.
• •Zły znak wykładnika. Liczba mniejsza od 1 ma wykładnik ujemny, liczba większa lub równa 10 dodatni. Jeśli wyszło ci $0{,}0003 = 3 \cdot 10^4$, znak uciekł po drodze.
• •Dodawanie wykładników przy dodawaniu liczb. Wzór $10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}$ działa tylko przy mnożeniu. Przy dodawaniu: $10^3 + 10^3 = 2 \cdot 10^3$, a nie $10^6$.
• •Liczenie zer zamiast przesunięć przecinka. W liczbie $0{,}00072$ są trzy zera po przecinku, ale wykładnik to $-4$. Licz przesunięcia przecinka, nie zera.
• •Brak poprawki po działaniu. Wynik typu $12 \cdot 10^5$ trzeba przepisać jako $1{,}2 \cdot 10^6$, zanim zaznaczysz odpowiedź. CKE chętnie wstawia obie wersje do dystraktorów.

Checklista: co musisz umieć

Notacja wykładnicza opiera się w całości na własnościach potęg, więc braki w tym temacie od razu wychodzą w zadaniach. Pełną teorię działu powtórzysz w przewodniku po liczbach rzeczywistych na maturze, a przy zadaniach praktycznych z przybliżeniami przyda się też post o błędzie bezwzględnym i względnym.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie