Dodawanie potęg o tej samej podstawie - jak wyłączyć potęgę przed nawias (zadania maturalne)

Potęg o tej samej podstawie nie dodaje się przez dodanie wykładników: $2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4$, a nie $2^6 = 64$. Sumę potęg upraszczasz, wyłączając przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku: $a^{n} + a^{n+1} + a^{n+2} = a^{n}\left(1 + a + a^2\right)$. Gdy wszystkie składniki są jednakowe, dodawanie zamieniasz na mnożenie, na przykład $2^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11}$. Gdy podstawy są różne, najpierw sprowadzasz je do wspólnej, na przykład $4^{5} = 2^{10}$.

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym ten rachunek wraca w dwóch postaciach. Pierwsza to zadanie zamknięte za punkt: w czerwcu 2017 trzeba było uprościć sumę $16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}$, a w maju 2025 iloraz $\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}$. Druga to zadanie dowodowe: wykaż, że liczba złożona z potęg jest podzielna przez $17$, $21$ albo $31$, jak w maju 2017, w próbnej maturze CKE z grudnia 2024 i w sierpniu 2025. Mnożenie i dzielenie potęg oraz potęgę potęgi masz we wpisie potęgi i pierwiastki na maturze. Tutaj jest jeden temat: dodawanie i odejmowanie potęg.

Dlaczego nie wolno dodawać wykładników

Wykładniki dodajesz tylko przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Przy dodawaniu takiej reguły nie ma, bo $a^m + a^n$ to suma dwóch liczb, a nie ich iloczyn. Najprościej sprawdzić to na małych liczbach: $3^2 + 3^2 = 18$, a $3^4 = 81$.

Potęga to skrócony zapis mnożenia: $2^5$ to pięć dwójek pomnożonych przez siebie. Gdy mnożysz $2^5 \cdot 2^3$, do pięciu dwójek dokładasz trzy kolejne i masz osiem, stąd $2^8$. Gdy dodajesz $2^5 + 2^3$, niczego nie dokładasz do iloczynu, tylko dodajesz dwie osobne liczby: $32 + 8 = 40$. Liczby $40$ nie zapiszesz jako jednej potęgi dwójki, ale zapiszesz ją jako iloczyn potęgi i zwykłej liczby: $40 = 2^3 \cdot 5$. Dokładnie to robi wyłączanie przed nawias: $2^5 + 2^3 = 2^3\left(2^2 + 1\right) = 2^3 \cdot 5$.

Jednakowe składniki: dodawanie zamieniasz na mnożenie

Suma $k$ jednakowych potęg $a^n$ to $k \cdot a^n$. Gdy liczba składników $k$ sama jest potęgą tej samej podstawy, wynik zapisujesz jako jedną potęgę: $3 \cdot 3^{7} = 3^{8}$, a $4 \cdot 2^{9} = 2^2 \cdot 2^9 = 2^{11}$.

Na tym stało zadanie z czerwca 2017: cztery jednakowe składniki $16^{24}$ to $4 \cdot 16^{24}$. Ponieważ $16 = 4^2$, masz $16^{24} = 4^{48}$, a cała suma to $4 \cdot 4^{48} = 4^{49}$.

Różne wykładniki: wyłącz najmniejszą potęgę

Gdy wykładniki są różne, wyłączasz przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku. W nawiasie zostają ilorazy każdego składnika przez wyłączoną potęgę, czyli małe potęgi, które liczysz w pamięci: $7^{20} + 7^{21} = 7^{20}(1 + 7) = 8 \cdot 7^{20}$.

Dlaczego najmniejszą? Bo wtedy w nawiasie zostają same liczby całkowite. Wyłączenie większej potęgi też jest poprawne, ale w nawiasie pojawiają się ułamki: $7^{20} + 7^{21} = 7^{21}\left(\frac17 + 1\right)$. W dowodzie podzielności taki ułamek przeszkadza, bo nie widać od razu, czy wynik jest wielokrotnością dzielnika.

Co zostaje w nawiasie, sprawdzasz dzieleniem: każdy składnik dzielisz przez wyłączoną potęgę, czyli odejmujesz wykładniki. Z $3^{n+3}$ po wyłączeniu $3^{n}$ zostaje $3^3 = 27$, z $3^{n+1}$ zostaje $3$, a z samego $3^{n}$ zostaje $1$, a nie $0$.

Różne podstawy: najpierw wspólna podstawa

Gdy podstawy są różne, zamieniasz je na potęgi tej samej liczby i dopiero wtedy wyłączasz. W zadaniach maturalnych tego typu podstawy są zwykle potęgami liczb $2$, $3$ albo $5$: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $25 = 5^2$, $125 = 5^3$.

Potem korzystasz z potęgi potęgi: $8^{50} = \left(2^3\right)^{50} = 2^{150}$. Zamianę podstaw także dla wykładników ujemnych i wymiernych opisuje wpis potęgi o wykładniku wymiernym i ujemnym.

Tak zbudowane są zadania dowodowe z arkuszy CKE:

Schemat w trzech krokach

Każde zadanie z sumą albo różnicą potęg rozwiążesz tym samym schematem: wspólna podstawa, wyłączenie najmniejszej potęgi, rachunek w nawiasie. Kolejność ma znaczenie, bo dopóki podstawy są różne, nie wiesz, która potęga jest najmniejsza.

Najpierw wspólna podstawa. Zamień każdą podstawę na potęgę tej samej liczby. W liczbie $2^{100}+4^{49}+16^{24}$ z próbnej matury dostajesz $2^{100}+2^{98}+2^{96}$. Dopiero teraz widać, że najmniejszą potęgą jest $2^{96}$, choć w zapisie z zadania najmniejszy wykładnik stał przy szesnastce.

Potem najmniejsza potęga przed nawias. Wyłącz potęgę o najmniejszym wykładniku. Jeśli przy potęgach stoją współczynniki, jak w $6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}$, zostają one w nawiasie i mnożą się przez to, co zostało z potęgi.

Na końcu rachunek w nawiasie. Policz nawias do jednej liczby i porównaj ją z pytaniem. W zadaniu zamkniętym szukasz tej liczby w odpowiedziach, w dowodzie sprawdzasz, czy jest wielokrotnością dzielnika, a w ułamku skracasz wyłączoną potęgę z mianownikiem.

Wzory

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania zamknięte z arkuszy, w których najpierw sprowadzasz potęgi do wspólnej podstawy, a potem upraszczasz iloczyn albo iloraz. To ten sam warsztat, którego potrzebujesz, zanim cokolwiek wyłączysz przed nawias. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie potęgi i pierwiastki, a dowody podzielności z innych działów zebrane są we wpisach o podzielności liczb i o zadaniach dowodowych z matury.

• Matura prób. CKE mar 20261 pkt
  Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $\frac{3^{10}\cdot 9^{20}}{27^{15}}$ jest równa
• Matura sie 20211 pkt
  Liczba $9^{-10}\cdot 3^{19}$ jest równa
• Matura maj 20201 pkt
  Liczba $\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{36^{10}}$ jest równa
• Matura prób. kwi 20201 pkt
  Liczba $4^{610}\cdot 16^{200}$ jest równa:
• Matura prób. mar 20131 pkt
  Iloraz $125^5:5^{11}$ jest równy
• Matura sie 20121 pkt
  Iloczyn $9^{-5}\cdot 3^8$ jest równy

Następny krok Losuj kolejne zadanie z potęg i pierwiastków

Najczęstsze pytania