Dana jest liczba x=a-(√(3)-√(2))², gdzie a należy do zbioru R liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby √(3) oraz √(2) · √(3) są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba x jest wymierna dla
Odpowiedzi do wyboru
- A.a=5
- B.a=-√(3)+√(2)
- C.a=(√(2)-√(3))²+0,3
- D.a=6
- E.a=-2√(6)+12,5
- F.a=(√(2)-√(3))²-2√(6)
- G.a=-√(6)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: CE
Rozwiązanie krok po kroku:
## Krok 1: Obliczenie wyrażenia (√(3)-√(2))²
Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia (a-b)² = a² - 2ab + b²:
(√(3)-√(2))² = (√(3))² - 2 · √(3) · √(2) + (√(2))²
= 3 - 2√(6) + 2 = 5 - 2√(6)
## Krok 2: Podstawienie do wzoru na x
x = a - (√(3)-√(2))² = a - (5 - 2√(6)) = a - 5 + 2√(6)
## Krok 3: Warunek wymierności x
Liczba x jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy:
x = a - 5 + 2√(6) ∈ Q
Ponieważ √(6) = √(2) · √(3) jest liczbą niewymierną (dane w zadaniu), to 2√(6) także jest niewymierne.
Aby suma a - 5 + 2√(6) była wymierna, musimy mieć:
a - 5 = -2√(6) + r
gdzie r ∈ Q, czyli:
a = 5 - 2√(6) + r
## Krok 4: Sprawdzenie opcji
A. a = 5: wtedy x = 5 - 5 + 2√(6) = 2√(6) — niewymierne
B. a = -√(3)+√(2): wtedy x = -√(3)+√(2) - 5 + 2√(6) — niewymierne (zawiera √(3) i √(2))
C. a = (√(2)-√(3))² + 0,3: Zauważmy, że (√(2)-√(3))² = (√(3)-√(2))² = 5 - 2√(6)
a = 5 - 2√(6) + 0,3 x = (5 - 2√(6) + 0,3) - 5 + 2√(6) = 0,3
WYMIERNE ✓
D. a = 6: wtedy x = 6 - 5 + 2√(6) = 1 + 2√(6) — niewymierne
E. a = -2√(6) + 12,5: x = (-2√(6) + 12,5) - 5 + 2√(6) = 12,5 - 5 = 7,5
WYMIERNE ✓
F. a = (√(2)-√(3))² - 2√(6) = 5 - 2√(6) - 2√(6) = 5 - 4√(6): x = (5 - 4√(6)) - 5 + 2√(6) = -2√(6)
niewymierne
G. a = -√(6): wtedy x = -√(6) - 5 + 2√(6) = √(6) - 5 — niewymierne
## Odpowiedź: C i E
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.