Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości 10 m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie 580 metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu. Oblicz wymiary x i y każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x = 100 m, y = 75 m
## Krok 1: Analiza sytuacji i oznaczenia
Mamy dwie identyczne prostokątne działki o wymiarach x i y, połączone wspólnym bokiem. Przyjmuje się, że: - x – szerokość każdej działki - y – długość każdej działki - działki są połączone dłuższym bokiem (wzdłuż y)
## Krok 2: Ustalenie długości płotu
Analizuje się, które boki są ogrodzone: - Górna krawędź: długość 2x (dwie działki obok siebie) minus dwie bramy po 10 m: 2x - 20 - Dolna krawędź: długość 2x (bez bram): 2x - Lewa krawędź: długość y - Prawa krawędź: długość y - Środkowy płot: rozdziela obie działki, długość y
## Krok 3: Równanie wiązania
Całkowita długość płotu:
(2x - 20) + 2x + y + y + y = 580
Upraszcza się:
4x - 20 + 3y = 580
4x + 3y = 600
Wyraża się y przez x:
y = (600 - 4x)/3 = 200 - 4x/3
## Krok 4: Funkcja pola powierzchni
Całkowite pole powierzchni magazynowej (dwie działki):
P(x) = 2 · x · y = 2x · (200 - 4x/3)
P(x) = 400x - 8x²/3
## Krok 5: Znajdowanie maksimum
Liczy się pochodną:
P'(x) = 400 - 16x/3
Przyrównuje się do zera:
400 - 16x/3 = 0
16x/3 = 400
x = 400 · 3/16 = 1200/16 = 75
## Krok 6: Obliczenie y
Podstawia się x = 75 do równania wiązania:
y = 200 - 4 · 75/3 = 200 - 300/3 = 200 - 100 = 100
## Krok 7: Weryfikacja
Sprawdza się, czy to maksimum (pochodna druga):
P''(x) = -16/3 < 0
Pochodna druga jest ujemna, więc mamy maksimum.
Sprawdza się długość płotu: 4 · 75 + 3 · 100 = 300 + 300 = 600 ✓
## Odpowiedź
Wymiary każdej z dwóch prostokątnych działek to: x = 75 m, y = 100 m
Uwaga: W treści zadania podano odpowiedź x = 100 m, y = 75 m, co sugeruje, że oznaczenia x i y były odwrotne (tzn. x to długość, a y to szerokość działki). Przy takich oznaczeniach otrzymujemy podaną odpowiedź.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.