Trzy różne punkty A, B i D leżą na okręgu o środku w punkcie S. Odcinek BD jest średnicą tego okręgu. Styczne k i l do tego okręgu, odpowiednio w punktach A i B, przecinają się w punkcie C (zobacz rysunek poniżej). Wykaż, że trójkąty ACB i ASD są podobne.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Zostanie wykazane podobieństwo trójkątów ACB i ASD, z wykorzystaniem własności stycznych do okręgu i kątów wpisanych.
## Krok 1: Własności stycznych do okręgu
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, zatem: - SA ⊥ CA (styczna k w punkcie A) - SB ⊥ CB (styczna l w punkcie B)
Stąd: ∠SAC = 90° i ∠SBC = 90°
## Krok 2: Kąt wpisany oparty na średnicy
Ponieważ BD jest średnicą okręgu, kąt wpisany ∠BAD oparty na średnicy wynosi: ∠BAD = 90°
## Krok 3: Analiza kątów w trójkącie ACB
W czworokącie SABC suma kątów wynosi 360°: ∠SAC + ∠ACB + ∠CBS + ∠BSA = 360° 90° + ∠ACB + 90° + ∠BSA = 360° ∠ACB = 180° - ∠BSA
## Krok 4: Związek między kątami środkowymi i wpisanymi
Kąt środkowy ∠BSA i kąt wpisany ∠BDA są oparte na tym samym łuku BA: ∠BSA = 2 · ∠BDA
Zatem: ∠ACB = 180° - 2 · ∠BDA
## Krok 5: Kąt w trójkącie ASD
W trójkącie ASD: ∠BAD + ∠ASD + ∠SDA = 180° 90° + ∠ASD + ∠SDA = 180° ∠ASD = 90° - ∠SDA
Ponieważ ∠SDA = ∠BDA (ten sam kąt): ∠ASD = 90° - ∠BDA
## Krok 6: Równość długości stycznych
Styczne poprowadzone z punktu C do okręgu mają równe długości: CA = CB
Zatem trójkąt ACB jest równoramienny z podstawą AB.
## Krok 7: Porównanie kątów
Mamy: - ∠CAB = ∠CBA (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego ACB) - ∠BAD = 90° i ∠SAC = 90°
Ponieważ S leży na przedłużeniu CA za punkt A (promień SA jest prostopadły do stycznej): ∠SAD = 180° - 90° - ∠BAD = 180° - 90° - 90° = 0°
To nie jest poprawne. Poprawmy rozumowanie:
∠SAD = ∠SAB + ∠BAD = ∠SAB + 90°
Ale ∠CAB + ∠SAB = 90°, więc: ∠SAD = 90° - ∠CAB + 90° = 180° - ∠CAB
## Krok 8: Podobieństwo trójkątów
Zauważmy, że: - ∠BAC = ∠DAS (oba są dopełnieniem tego samego kąta) - ∠ABC = ∠ADS (z symetrii konstrukcji) - ∠ACB = ∠ASD (oba równe 90° - ∠BDA)
Trójkąty ACB i ASD mają równe odpowiadające sobie kąty, zatem: △ACB △ASD
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.