Funkcja f jest określona następująco: f(x)= x+4 dla x ∈ [-8,0] 4 dla x ∈ (0,4] -2 x+12 dla x ∈ (4,6) Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach tak, aby zdania były prawdziwe. Dziedziną funkcji f jest przedział ............ . Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ............ . Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział ............ . Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x)=4 jest przedział ............ .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dziedziną funkcji f jest przedział [-8,6) .Zbiorem wartości funkcji f jest przedział [-4,4] .Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział [-4,6) .Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x)=4 jest przedział [0,4] .
# Analiza funkcji przedziałami określonej
## 1. Dziedzina funkcji f
Funkcja jest określona dla trzech przedziałów: - x ∈ [-8, 0] - x ∈ (0, 4] - x ∈ (4, 6)
Dziedzina to suma wszystkich tych przedziałów: D_f = [-8, 0] ∪ (0, 4] ∪ (4, 6) = [-8, 6)
Dziedzina: [-8, 6)
## 2. Zbiór wartości funkcji f
Analizujemy wartości w każdym przedziale:
Dla x ∈ [-8, 0]: f(x) = x + 4 - Gdy x = -8: f(-8) = -8 + 4 = -4 - Gdy x = 0: f(0) = 0 + 4 = 4 - Funkcja liniowa rosnąca, więc f(x) ∈ [-4, 4]
Dla x ∈ (0, 4]: f(x) = 4 - Funkcja stała, więc f(x) = 4
Dla x ∈ (4, 6): f(x) = -2x + 12 - Gdy x → 4^+: f(x) → -2(4) + 12 = 4 - Gdy x → 6^-: f(x) → -2(6) + 12 = 0 - Funkcja liniowa malejąca, więc f(x) ∈ (0, 4)
Zbiór wartości to suma: [-4, 4] ∪ {4} ∪ (0, 4) = [-4, 4]
Zbiór wartości: [-4, 4]
## 3. Argumenty, dla których f(x) ≥ 0
Dla x ∈ [-8, 0]: f(x) = x + 4 ≥ 0 x + 4 ≥ 0 x ≥ -4 Przecięcie z dziedziną: x ∈ [-4, 0]
Dla x ∈ (0, 4]: f(x) = 4 ≥ 0 ✓ Wszystkie x ∈ (0, 4] spełniają warunek
Dla x ∈ (4, 6): f(x) = -2x + 12 ≥ 0 -2x + 12 ≥ 0 x ≤ 6 Wszystkie x ∈ (4, 6) spełniają warunek
Suma przedziałów: [-4, 0] ∪ (0, 4] ∪ (4, 6) = [-4, 6)
Argumenty z f(x) ≥ 0: [-4, 6)
## 4. Rozwiązania równania f(x) = 4
Dla x ∈ [-8, 0]: x + 4 = 4 x = 0 ∈ [-8, 0] ✓
Dla x ∈ (0, 4]: f(x) = 4 Wszystkie x ∈ (0, 4] spełniają równanie ✓
Dla x ∈ (4, 6): -2x + 12 = 4 -2x = -8 x = 4 Ale 4 ∉ (4, 6) ✗
Zbiór rozwiązań: {0} ∪ (0, 4] = [0, 4]
Rozwiązania f(x) = 4: [0, 4]
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.