Dany jest trójkąt prostokątny A B C o bokach |A C|=12,|B C|=5,|A B|=13. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.1
- B.2
- C.5/2
- D.20/13
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Sprawdza się, który bok jest przeciwprostokątną i gdzie znajduje się kąt prosty.
Krok 1: Identyfikacja trójkąta
Sprawdza się twierdzenie Pitagorasa: |AC|² + |BC|² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² = |AB|²
Zatem kąt prosty jest przy wierzchołku C, a przeciwprostokątna to AB.
Krok 2: Punkt przecięcia dwusiecznych
Punkt P to środek okręgu wpisanego w trójkąt. Odległość x od przeciwprostokątnej AB to promień r okręgu wpisanego.
Krok 3: Obliczenie promienia okręgu wpisanego
Dla trójkąta o bokach a, b, c i polu S: r = S/s
gdzie s to półobwód.
Krok 4: Obliczenie pola trójkąta
Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych |AC| = 12 i |BC| = 5: S = 1/2 · 12 · 5 = 30
Krok 5: Obliczenie półobwodu
s = (|AC| + |BC| + |AB|)/2 = (12 + 5 + 13)/2 = 30/2 = 15
Krok 6: Obliczenie promienia
r = S/s = 30/15 = 2
Alternatywny wzór dla trójkąta prostokątnego:
Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c: r = (a + b - c)/2 = (12 + 5 - 13)/2 = 4/2 = 2
Odległość punktu P od przeciwprostokątnej AB wynosi 2.
Odpowiedź: B
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.